வளைவு ஆரம் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

வடிவவியலில், ஒரு வளைவரையின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியிடத்து அவ்வளைவரையின் வளைவு ஆரம் (radius of curvature) R என்பது, அப்புள்ளியில் கிட்டத்தட்ட தரப்பட்ட வளைவரையை ஒத்தமையும் வட்டவில்லின் ஆரமாகும். வளைவு ஆரத்தின் மதிப்பு வளைவின் மதிப்பின் தலைகீழியாக இருக்கும்.

தளத்திலமைந்த வளைவரையொன்றின் வளைவு ஆரம்:

R = \frac{ds}{d\varphi} = \frac{1}{\kappa},

இங்கு s என்பது வளைவரை மீதுள்ள ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து காணப்படும் வில்லின் நீளம்; φ என்பது தொடுகோணம்; \scriptstyle\kappa வளைவு.

R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}\right|, 
\qquad\mbox{where}\quad
y' = \frac{dy}{dx},\quad y'' = \frac{d^2y}{dx^2},

| z | என்பது z இன் தனி மதிப்பைக் குறிக்கும்.

வளைவரையின் சமன்பாடு x(t) and y(t), என துணையலகுகளில் தரப்பட்டால் வளைவு ஆரம்:

R = \;\left|\frac{ds}{d\varphi}\right| \;= \;\left|\frac {\big({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\big)^{3/2}}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|,
\qquad\mbox{where}\quad
\dot{x} = \frac{dx}{dt},\quad\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad 
\dot{y} = \frac{dy}{dt},\quad\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

அரைவட்டங்களும் வட்டங்கள்[தொகு]

மேல் அரைத்தளத்தில் அமையும் a அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்:


y=\sqrt{a^2-x^2}, \quad
y'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}, \quad
y''=\frac{-a^2}{(a^2-x^2)^{3/2}},\quad
R=|-a| =a.

அரைத்தளத்தில் அமையும் a அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் வளைவு ஆரம்:


y=-\sqrt{a^2-x^2}, \quad
R=|a|=a.

a அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தின் வளைவு ஆரம் a.

நீள்வட்டங்கள்[தொகு]

நீள்வட்டம் (சிவப்பு) மற்றும் அதன் மலரி (நீலம்). மிக அதிக மற்றும் மிகக் குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாக அமையும் நீள்வட்டத்தின் முனைகள்.

ஒரு நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சின் நீளம் 2a  ; குற்றச்சின் நீளம் 2b எனில் நெட்டச்சின் முனைகள் மிகக்குறைந்த வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் \left( R = \frac{b^2}{a} \right) , குற்றச்சின் முனைகள் மிகஅதிக வளைவு ஆரம் கொண்ட புள்ளிகளாகவும் \left( R = \frac{a^2}{b} \right) அமைகின்றன.

மேலும் பார்க்க[தொகு]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7. 
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=வளைவு_ஆரம்_(கணிதம்)&oldid=1473915" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது