வர்க்க நிரப்பி முறை

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில், வர்க்க நிரப்பி முறை(completing the square) என்பது ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் வடிவத்தை

$ax^2 + bx + c\,\!$ -வடிவிலிருந்து

$a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{constant}.\,$ வடிவத்திற்கு மாற்றும் முறையாகும்.

இங்கு மாறிலி(constant) என்பது மாறி x -ஐச் சாராத உறுப்பு என்பதைக் குறிக்கும். அடைப்புக் குறிக்குள் அமைந்துள்ள கோவை, (x − மாறிலி) வடிவில் உள்ளது. எனவே, ax² + bx + c  என்பது

$a(x - h)^2 + k\,$ என மாற்றமடைகிறது. இதில் h ,k -ன் மதிப்புகளைக் காண வேண்டும்.

வர்க்க நிரப்பி முறையானது பயன்படும் இடங்கள்:

• இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்
• இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடம் வரைதல்
• நுண்கணிதத்தில் தொகையிடல்
• லாப்லாசு மாற்றுகளைக் காணல்

கணிதத்தில் வர்க்கநிரப்பி முறை ஒரு எளிமையான இயற்கணித செயல்முறையாகக் கருதப்படுகிறது. மேலும் இது பெரும்பாலும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட கணக்கிடுதல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மேலோட்டமாக ஒரு பார்வை

பின்னணி

ஒரு ஈருறுப்புக் கோவையின் வர்க்கத்திற்கு, அடிப்படை இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு எளிய வாய்ப்பாடு:

$(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\,\!$

எடுத்துக்காட்டாக:

$\begin{alignat}{2} (x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt] (x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5). \end{alignat}$

எந்தவொரு முழுவர்க்கத்திலும் p -ன் மதிப்பு, x -ன் கெழுவில் பாதியாகவும் மாறிலி உறுப்பு, p² ஆகவும் இருக்கும்.

எளிய எடுத்துக்காட்டு

பின்வரும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில்,

$x^2 + 10x + 28.\,\!$

28 ஆனது, 5 -ன் வர்க்கமில்லை என்பதால் இக்கோவை முழு வர்க்கமல்ல.

$(x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\,\!$

என்பதைப் பயன்படுத்தி இக்கோவையை,

$x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3,$ ஒரு வர்க்கம் மற்றும் ஒரு மாறிலியின் கூடுதலாக எழுதலாம்.

இவ்வாறு மாற்றி எழுதும் முறை வர்க்க நிரப்பி முறை எனப்படுகிறது.

---

பொது விளக்கம்

$x^2 + bx + c,\,\!$ என்ற தலையொற்றை இருபடிக் கோவையை எடுத்துக் கொள்க:

ஒரு வர்க்கத்தின் விரிவிலுள்ள முதல் இரு உறுப்புகள், நாம் எடுத்துக் கொண்ட கோவையின் முதல் இரு உறுப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்படியாக ஒரு வர்க்கத்தைக் காண முடியும்.

$\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.$

வலதுபுறமுள்ள விரிவிற்கும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோவைக்கும் வேறுபாடு, மாறிலி உறுப்பு மட்டும்தான். எனவே,

$x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,$ என எழுதலாம். இங்கு

k ஒரு மாறிலியாகும். இச்செயல், வர்க்க நிரப்பி முறை எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\begin{alignat}{1} x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt] x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt] x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6. \end{alignat}$

தலையொற்றை அல்லாதவை

$ax^2 + bx + c\,\!$ போன்ற இருபடிக் பல்லுறுப்புகோவையிலிருந்து கெழு a -ஐ நீக்கிவிட்டு,பின் அதிலிருந்து கிடைக்கும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையை வர்க்க நிரப்பி முறையில் முன்போல மாற்றலாம்

எடுத்துக்காட்டு:

$\begin{align} 3x^2 + 12x + 27 &= 3(x^2+4x+9)\\ &{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\ &{}= 3(x+2)^2 + 15 \end{align}$

இதன்படி எந்தவொரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையையும் பின்வரும் வடிவில் எழுதலாம்.

$a(x-h)^2 + k.\,\!$

வாய்ப்பாடு

வர்க்க நிரப்பும் முறையை வாய்ப்பாடாக உருவப்படுத்தலாம்.

பொதுவகைக்கு:

$ax^2 + bx + c \;=\; a(x-h)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}.$

குறிப்பாக a=1 எனில்:

$x^2 + bx + c \;=\; (x-h)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2}, \quad k = c - \frac{b^2}{4}.$

வரைபடத்துடனான தொடர்பு

h = 0, 5, 10, 15, வலதுபுறம் நகர்த்தப்பட்ட இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடங்கள்

k = 0, 5, 10, 15, மேற்புறம் நகர்த்தப்பட்ட இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடங்கள்

0, 5, 10, 15, மேற்புறம் மற்றும் வலப்புறம் நகர்த்தப்பட்ட இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடங்கள்.

பகுமுறை வடிவவியலில் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம், xy தளத்தில் அமைந்த ஒரு பரவளையமாகும்.

$(x-h)^2 + k; \quad a(x-h)^2 + k$ என்ற இருபடிச் சார்பிற்கு,

h , k என்பன பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் கார்ட்டீசியன் அச்சுதூரங்களாகும். அதாவது h என்பது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சின் x -அச்சுதூரம்; k என்பது இருபடிச் சார்பின் குறும(பெரும) மதிப்பாகும்.( a < 0 எனில் பெரும மதிப்பு)

ƒ(x) = x² என்ற சார்பின் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி  (0, 0) -ஐ உச்சிப்புள்ளியாகக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும்.

அதேபோல ƒ(x − h) = (x − h)² என்ற சார்பின் வரைபடம், மேலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல வலதுபுறம் h அலகு தூரத்திற்கு நகர்த்தப்பட்டு, (h, 0) என்ற உச்சிப்புள்ளியை உடைய பரவளையமாகும்.

இதற்கு மாறாக ƒ(x) + k = x² + k என்ற சார்பின் வரைபடம், நடுவிலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல, மேல்புறமாக k அலகு தூரம் நகர்த்தப்பட்டு (0, k) என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.

இந்த இரண்டு நகர்த்தல்களையும் சேர்த்தால், ƒ(x − h) + k = (x − h)² + k என்பது கீழ்ப்படத்தில் உள்ளதுபோல வலப்புறம் h அலகுகளும் மேற்புறம் k அலகுகள் தூரமும் நகர்த்தப்பட்டு (h, k) என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.

இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

வர்க்கநிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!$

வர்க்க நிரப்பி முறையில் இச் சமன்பாட்டை,

$(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!$ என மாற்றலாம்.

$(x+3)^2 = 4.\,\!$

$x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,$

ஃ :$x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.$

x² -ன் கெழு 1 -ஆக இல்லாமல் இருந்தால், முதலில் சமன்பாட்டை அக்கெழுவால் வகுத்து விட்டுப் பின் மேலே உள்ளவாறு தீர்க்க வேண்டும்.

விகிதமுறா மற்றும் சிக்கலெண் மூலங்கள்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே, காரணிப்படுத்தும் முறையில் தீர்க்க முடியும்.மூலங்கள் விகிதமுறா எண்களாகவோ அல்லது சிக்கலெண்களாகவோ இருந்தால் காரணிப்படுத்தல் முறையில் தீர்க்க முடியாது. அப்பொழுது வர்க்க நிரப்பி முறையில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

• விகிதமுறா மூலங்கள்:

$x^2 - 10x + 18 = 0.\,\!$

வர்க்க நிரப்பி முறையில்,

$(x-5)^2 - 7 = 0,\,\!$

$(x-5)^2 = 7.\,\!$

$x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{or}\quad x-5 = \sqrt{7},\,$

$x = 5 - \sqrt{7}\quad\text{or}\quad x = 5 + \sqrt{7}. \,$

$x = 5 \pm \sqrt{7}.\,$

• சிக்கலெண் மூலங்கள்:

$\begin{array}{c} x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt] (x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt] (x+2)^2 \,=\, -1 \\[6pt] x+2 \,=\, \pm i \\[6pt] x \,=\, -2 \pm i. \end{array}$

தலையொற்றை அல்லாத வகைச் சமன்பாடு

தலையொற்றை அல்லாத சமன்பாடுகளாக இருந்தால் முதலில் சமன்பாட்டை x² -ன் கெழுவால் வகுத்துவிட்டுப் பின்னர் வர்க்க நிரப்பி முறையில் தீர்க்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\begin{array}{c} 2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt] x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt] \left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt] \left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[6pt] x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[6pt] x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2. \end{array}$

ஏனையப் பயன்பாடுகள்

தொகையீடு

$\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}$ போன்ற தொகையீடுகளை வர்க்க நிரப்பி முறையில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C; \quad \int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.$ என்ற வாய்ப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி,

$\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}$ போன்ற தொகையீடுகளை வர்க்க நிரப்பி முறையில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\int\frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.$

பகுதியை வர்க்க நிரப்பி முறையில் மாற்ற,

$\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2}.$

u = x + 3, என்ற பதிலிடல் மூலம் இந்த தொகையீட்டைக் காண,

$\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.$ கிடைக்கிறது.

சிக்கலெண்கள்

•  :$|z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,$என்ற கோவையை எடுத்துக் கொள்க. இதில்

z , b aசிக்கலெண்கள், z^* மற்றும் b^* இரண்டும் முறையே, z , b -ன் இணை சிக்கலெண்கள். c ஒரு மெய்யெண்.

|u|² = uu^* என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி,

$\begin{align} |z-b|^2 &{}= (z-b)(z-b)^*\\ &{}= (z-b)(z^*-b^*)\\ &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\ &{}= |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 . \end{align}$

என நிறுவலாம்.

இதனைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்கொண்ட கோவையை:

$|z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,$

$|z-b|^2 - |b|^2 + c , \,\!$ என முழு வர்க்க உறுப்பு கொண்ட வடிவிற்கு மாற்றலாம்.

•  :$ax^2 + by^2 + c , \,\!$

இங்கு a, b, c, x, மற்றும் y மெய்யெண்கள். a > 0, b > 0, எனில் இக்கோவையை ஒரு சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பின் முழு வர்க்கமுடைய வடிவில் எழுதலாம்.

$z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y .$ என எடுத்துக் கொள்க.

$\begin{align} |z|^2 &{}= z z^*\\ &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\ &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\ &{}= ax^2 + by^2 , \end{align}$

ஃ $ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \,\!$

வடிவவியல் கண்ணோட்டம்

வர்க்கத்தை நிரப்புதல்

$x^2 + bx = a.\,$

x² , x அலகு பக்கம் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பையும் bx, b மற்றும் x அலகு பக்க அளவுகள் கொண்ட செவ்வகத்தின் பரப்பையும் குறிப்பதால், வர்க்கத்தினை முழுமையாக்கும் முறையைப் பின்வருமாறு கருதலாம். x² பரப்புள்ள சதுரத்தையும் bx பரப்புள்ள செவ்வகத்தையும் ஒரு பெரிய சதுரத்தின் பரப்பாக மாற்றுவதற்கு எடுத்துக்கொள்ளும் பல படிகளுக்குப் பிறகு, ஒரு மூலையில் ஒரு சிறிய சதுரம் பற்றாக்குறையாக இருக்கிறது. (b/2)² என்ற உறுப்பை இருபுறமும் சேர்க்க அதுவே தேவைப்படும் மூலச் சதுரமாக அமைந்து, சதுரம் முழுமையடைகிறது. இக்காரணத்தால்தான் இச்செயல் வர்க்க நிரப்பி முறை என அழைக்கப்படுகிறது.

இம்முறையில் ஒரு மாற்றம்

வர்க்க நிரப்பி முறையில்,

$u^2 + 2uv\,$ என்பதை முழுவர்க்கமாக்குவதற்கு மூன்றாவதாக

v ² -என்ற உறுப்பைச் சேர்ப்பதுதான் வழக்கம்.

ஆனால் $u^2 + v^2\,$ என்பதோடு 2uv அல்லது −2uv -ஐ நடு உறுப்பாகச் சேர்த்து முழுவர்க்கமாக்கும் முறையும் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ஒரு நேர்ம எண் மற்றும் அதன் தலைகீழியின் கூடுதல்:

$\begin{align} x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\ &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2 \end{align}$

ஒரு மெய்மதிப்புள்ள கோவையின் வர்க்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ அல்லது பூச்சியத்தைவிட அதிகமாக்வோ இருக்கும். எனவே இதிலிருந்து ஒரு நேர்ம எண் x மற்றும் அதன் தலைகீழியின் கூடுதல் 2 அல்லது 2க்கு அதிகமானதாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம். இங்கு x = 1 எனில் வலதுபுறமுள்ள முழுவர்க்கத்தின் மதிப்பும் பூச்சியமாகி இக்கூடுதலின் மதிப்பு 2 ஆகும்.

• $x^4 + 324 . \,\!$ என்ற கோவையைக் காரணிப்படுத்த:

$(x^2)^2 + (18)^2, \,\!$

எனவே நடுவுறுப்பு 2(x²)(18) = 36x². ஆகும். இதைச் சேர்க்க:

$\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\ &{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\ &{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\ &{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18) \end{align}$

(உறுப்புகளின் அடுக்கு, இறங்கு வரிசையில் இருக்கவேண்டும் என்ற வழக்கத்திற்காக கடைசி மாற்றம் செய்யப் பட்டுள்ளது)

மேற்கோள்கள்

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

வெளி இணைப்புகள்

• Completing the square on PlanetMath