வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

வரிசைமாற்றங்கள் என்பது கணிதத்தில் மாத்திரமல்ல, பற்பல சூழ்நிலைகளிலும் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும் நேரக்கூடிய ஒரு கணிதக் கருத்து. வரிசை மாற்றங்கள் அவைகளின் சேர்வு என்ற செயல்பாட்டினால் குலம் என்ற கணித அமைப்பாகக் கூடும். அப்படி ஏற்படும் வரிசைமாற்றக் குலம் (Permutation Group) ஒவ்வொன்றுக்கும் அதைத் தனிப்படுத்திக் காட்டக் கூடிய ஒரு கருத்து தான் அவைகளின் சுழற் குறியீடு (Cycle Index). ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் ஒரு சுழலமைப்பு உண்டு. ஒரு வரிசைமாற்றக்குலத் திலுள்ள வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பிற்கு அதன் சுழற்குறியீடு என்று பெயர்.

முறையான வரையறை

$n$ குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களின் குலம் $G$ ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம். $G$ இனுடைய சுழற்குறியீடு என்பது கீழே வரையறுக்கப்பட்டபடி நேரும் $Z(G)$ என்ற ஓர் அடையாளப் பல்லுறுப்புக் கோவை. அதன் மாறிகளாகத் திகழ்வது $s_1, s_2, ..., s_n$ என்ற தேரவியலாக் குறியீடுகள்:

$Z(G) = Z(G: s_1, s_2, ..., s_n) = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}$ ; இங்கு,

$\lambda_k(g)$ என்பது $g$ -இன் சுழற்பிரிவினையில் உள்ள $k$-சுழல்களின் எண்ணிக்கை.

$s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}$ என்பது $g$ -இன் சுழலமைப்பு. அதனால் $Z(G)$ ஐ $G$-இலுள்ள வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பு என்று சொல்லலாம்.

ஏதாவதொரு $\lambda_k(g)$ வெறும் 1 ஆக இருந்தால், $s_k^{\lambda_k(g)}$ ஐ $s_k$ என்றே எழுதலாம்.

$s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}$ ஐ $s_{(\lambda)}$ என்றும் எழுதுவதுண்டு. இங்கு, $(\lambda)$ என்பது $(1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... n^{\lambda_n})$ என்ற சுழலமைப்பைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $S_2 = \{e, (12)\}$

$Z(S_2: s_1, s_2) = \frac{1}{2}(s_1^2 + s_2)$

• $S_3 = \{e, (1)(23), (2)(31), (3)(12), (123), (132)\}$

வரிசைமாற்றம்	அதிலுள்ள சுழல்கள்	சுழலமைப்பு
e	மூன்று 1-சுழல்கள்	$s_1^3$
(1)(23)	ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்	$s_1 s_2$
(2)(31)	ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்	$s_1 s_2$
(3)(12)	ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்	$s_1 s_2$
(123)	ஒரு 3-சுழல்	$s_3$
(132)	ஒரு 3-சுழல்	$s_3$

$\therefore Z(S_3: s_1, s_2, s_3) = \frac{1}{6}(s_1^3 + 3s_1s_2 + 2 s_3)$

• இதேபோல் $Z(S_4) = \frac{1}{24}\left(s_1^4 + 3 s_2^2 + 8 s_1 s_3 + 6 s_1^2 s_2 + 6 s_4\right)$

சமச்சீர் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து $n$-கிரமச் சமச்சீர் குலத்தின் (அதாவது, $S_n$ இன்) சுழற்குறியீட்டைக் கணிப்பதற்கு நமக்குத்தெரிய வேண்டியதெல்லாம் ஒன்றே ஒன்றுதான்: அ-து, $S_n$ இலுள்ள ஒவ்வொரு சுழலமைப்பு வகையிலும் எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன, என்பதுதான். இக்கேள்விக்கு விடை கோஷி தேற்றத்தில் இருக்கிறது. அதைப் பயன்படுத்தினால்,

$Z(S_n: s_1, s_2, ... ) = \left(\sum_{\lambda_1+2\lambda_2+...+k\lambda_k = n} \frac{s_1^{\lambda_1}s_2^{\lambda_2}...s_k^{\lambda_k}}{1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!}\right)$

அல்லது, $Z(S_n) = \sum_{(\lambda)\vdash n} \frac{s_{(\lambda)}}{\Pi(\lambda)} = \frac{1}{n!}\sum_{(\lambda)\vdash n} g_{\lambda} s_{\lambda}.$

இங்கு $\Pi(\lambda) = 1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!$. மற்றும் $g_{\lambda} = \frac{n!}{\Pi({\lambda})}$

நான்முகியின் சமச்சீர்கள்

ஓர் ஒழுங்கு நான்முகியின் சுழற்சிச் சமச்சீர் குலத்தில் இவை பன்னிரண்டும் அடக்கம்:

• நான்கு உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து போகும் நடு அச்சுகளைச் சுற்றி வலச்சுற்றாக $120^{\circ}$ சுழற்சிகள், இடச்சுற்றாக $120^{\circ}$ சுழற்சிகள்; ஆக 8 சுழற்சிகள்;
• எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சைச் சுற்றிய $180^\circ$ சுழற்சிகள்; இவை மூன்று;
• ஒரு முற்றொருமைச் செயல்பாடு.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் பாதிப்புகளை மாதிரிக்காக கீழ்க்கண்டபடி அட்டவணைப் படுத்தலாம்:(குறிப்பு: உச்சிகளை 1,2,3,4 என்றும், ஓரக்கோடுகளை 1-2, 1-3, 3-4, .. என்றும் முகங்களை 1-2-3, 2-3-4, .. என்றும் குறிப்போம்).

முதல் வகைச் சுழற்சியால் பாதிப்பு:	மாதிரிச் செயற்பாடு	சுழல்	சுழலமைப்பு
உச்சிகளில்	$1\rightarrow 1; 2\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow2$	(1)(234)	$s_1 s_3$
ஓரக்கோடுகளில்	$1-2 \rightarrow 1-3\rightarrow 1-4\rightarrow 1-2; 2-3\rightarrow 3-4\rightarrow4-2\rightarrow 2-3$	(1-2 1-3 1-4)(2-3 3-4 4-2)	$s_3^2$
முகங்களில்	$1-2-3\rightarrow1-3-4\rightarrow1-4-2; 2-3-4\rightarrow2-3-4$	(1-2-3 1-3-4 1-4-2)(2-3-4)	$s_1 s_3$

2-வது சுழற்சியால் பதிப்பு	மாதிரிச்செயற்பாடு	சுழல்	சுழலமைப்பு
உச்சிகளில்	$1\rightarrow3\rightarrow1; 2\rightarrow4\rightarrow2$	(13)(24)	$s_2^2$
ஓரக்கோடுகளில்	$1-2\rightarrow3-4\rightarrow1-2;1-4\rightarrow3-2\rightarrow1-4; 1-3\rightarrow 1-3; 2-4\rightarrow2-4$	(1-2 3-4)(1-4 3-2)(1-3)(2-4)	$s_1^2 s_2^2$
முகங்களில்	$1-2-3 \rightarrow 1-3-4\rightarrow 1-2-3; 1-2-4\rightarrow 2-3-4\rightarrow 1-2-4$	(1-2-3 1-3-4)(1-2-4 2-3-4)	$s_2^2$

• உச்சிகளினிடையில் இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

$\frac{1}{12}\left(s_1^4 + 8s_1s_3 + 3 s_2^2\right)$.

• ஓரக்கோடுகளினிடையில் இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

$\frac{1}{12}\left(s_1^6 + 8s_3^2 + 3 s_1^2 s_2^2 \right)$.

• முகங்களினிடையில் இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

$\frac{1}{12}\left(s_1^4 + 8s_1 s_3 + 3 s_2^2\right)$

கன சதுரத்தின் சமச்சீர்கள்

முதற்கண் சுழற்சிச் சமச்சீர்களை கவனிப்போம். இவை 24. அதாவது:

• எதிரெதிர் உச்சிகளைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச்சுற்றி $120^{\circ}$ வலச்சுற்றுச்சுழற்சிகள், $120^{\circ}$ இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; ஆக 8.

• எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி $180^{\circ}$ சுழற்சிகள்; இவை 6.

• எதிர் முகங்களின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி $90^{\circ}$ வலச்சுற்றுச் சுழற்சிகள், $90^{\circ}$ இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; இவை 6.

• அதே அச்சுகளைச்சுற்றி $180^{\circ}$ சுழற்சிகள்; இவை 3.

• ஒரு முற்றொருமைச் சுழற்சி.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால்

• உச்சிகளினிடையில் இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

$\frac{1}{24}\left(s_1^8 + 6s_4^2 + 9 s_2^4 + 8s_1^2s_3^2\right)$.

• ஓரக்கோடுகளினிடையில் இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

$\frac{1}{24}\left(s_1^{12} +6s_4^3 + 3 s_2^6 + 8s_3^4 + 6 s_1^2 s_2^5 \right)$.

• முகங்களினிடையில் இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

$\frac{1}{24}\left(s_1^6 +6 s_1^2 s_4 + 3 s_1^2 s_2^2 + 8 s_3^2 + 6 s_2^3\right)$

இவற்றையும் பார்க்கவும்

போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம்

சமச்சீர் பல்லுறுப்பு