வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்

வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம் (Euler's theorem in geometry), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது:

$d^2=R (R-2r) \,$

இதில் R -சுற்றுவட்ட ஆரம், r -உள்வட்ட ஆரம்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை:

$R \ge 2r.$ -ஆய்லரின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.

இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்..

நிறுவல்

இத்தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான படம்(நிறுவலுடன்).

• முக்கோணம் ABC -ன் சுற்றுவட்ட மையம் O , உள்வட்ட மையம் I என்க.
• கோட்டுத்துண்டு AI -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி L -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் BC -ன் நடுப்புள்ளியாக L இருக்கும்.
• கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி M என்க.
• I -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
• $ID = r\,$.

$\triangle ADI\sim\triangle MBL \,$ (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)

$\frac{ID}{BL} = \frac{AI}{ML}$

$ID \times ML = AI \times BL$

$2Rr = AI \times BL\,$----------------(1)

• $BI$ வரைக.

$\triangle BIL$ -ல்:

$\angle BIL = \frac{\angle ABC}{2}+ \frac{\angle A}{2}$ --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)

$\angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle A}{2}$

(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)

$\angle BIL = \angle IBL$

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

$BL = IL\,$,

இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:

$2Rr = AI \times IL$--------(2)

• $OI$ -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் P , Q என்க.

$PI \times QI = AI\times IL$ ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)

$PI \times QI = 2Rr \,$-----( (1)-ன் படி)

$(R+d)(R-d) = 2Rr\,$ --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)

$d^2 = R(R-2r)\,$. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)

வெளி இணைப்புகள்

• Euler's theorem on MathWorld