வகையீட்டுச் சமன்பாடு

கணிதத்தில் ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாடு அல்லது வகையீட்டுச் சமன்பாடு (differential equation) என்பது ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த, மதிப்பறியப்படாத ஒரு சார்பின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாடு சார்பின் மதிப்பையும் அச்சார்பின் வெவ்வேறு வரிசை வகைக்கெழுக்களையும் தொடர்புபடுத்துகிறது. பொறியியல், அறிவியல், பொருளியல் போன்ற முக்கியமான பலதுறைகளில் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் பெரிதும் பயன்படுகின்றன. வகையீட்டு சமன்பாட்டுக்களின் தீர்வுகளை (அதாவது செயலியை) கண்டுபிடிப்பதே வகையீட்டு சமன்பாட்டு கணிதத்தின் வேலையாகும்.

வரையறை

ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சாராமாறிகள், அதனைச் சார்ந்த மாறி மற்றும் அதன் வகையீடுகளில் அமைந்த சமன்பாடு, ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாடாகும்.

$y = f(x),$ சார்பின் வகைக்கெழு $\frac{dy}{dx}$ -ஆனது x -ஐப் பொறுத்த y-ன் மாறுவீதம். அறிவியலின் அடிப்படைக் கருத்துக்களின்படி எந்தவொரு மாறும் கணியத்திற்கும் அதன் மாறுவீதத்திற்கும் தொடர்பு உள்ளது. அந்தத் தொடர்பைக் கணித முறையில் எழுதும்போது கிடைப்பதுதான் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு:

s தொலைவிலிருந்து விழும் ஒரு பொருளின் வேகம், நேரம் t -க்கு நேர்விகிதத்தில் அமையும் என்பது இயற்பியலின் அடிப்படைக் கூற்று. இக்கூற்றை வகைக்கெழுச் சமன்பாடாக எழுத:

$\frac{ds}{dt} = kt \,$

இங்கு ds/dt -அப்பொருளின் திசைவேகம்.

வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் வரிசை மற்றும் படி

• ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் அமைந்துள்ள வகைக்கெழுக்களின் வரிசையில் மிக அதிகமான வரிசை, அவ்வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை ஆகும்.

• ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாட்டில் அமைந்துள்ள வகைக்கெழுக்களில் மிக அதிகமான வரிசையுடைய வகைக்கெழுவின் படி, அவ்வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் படி ஆகும். ஆனால் வகைக்கெழுக்களின் அடுக்குகள் பின்னமாகவோ அல்லது படிமூலங்களாகவோ இருப்பின் அவற்றை தக்க முறையில் நீக்கிய பின்பே வகையீட்டுச் சமன்பாட்டின் படி காண வேண்டும்.

வகைக்கெழுச் சமன்பாடு	உயர்வரிசை வகைக்கெழு உறுப்பு	வரிசை	படி
$\frac{du}{dx} = cu+x^2$	$\frac{du}{dx}$	1	1
$\frac{d^2u}{dx^2} - x(\frac{du}{dx})^3 + u = 0$	$\frac{d^2u}{dx^2}$	2	1
: $(\frac{d^2u}{dx^2})^2 + \omega^2u = 0$	$(\frac{d^2u}{dx^2})^2$	2	2
$\frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}$	$\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}$	3	1

வகைகள்

வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் இரு வகைப்படும்.

• சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்
• பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாகவோ அல்லது மறைமுகமாகவோ ஒரேயொரு சாராமாறி மட்டுமே இடம்பெறுமானால் அச்சமன்பாடு சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

கீழே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், u என்பது மாறி x -ல் அமைந்த ஒரு சார்பு மற்றும் c , ω மதிப்புத் தெரிந்த மாறிலிகள் என்க.

1. $\frac{du}{dx} = cu+x^2.$
2. $\frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.$
3. $\frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0.$
4. $\frac{du}{dx} = u^2 + 1.$

பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாகவோ அல்லது மறைமுகமாகவோ பல சாராமாறிகளும் அவற்றைப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழுக்களும் இடம்பெறுமானால் அச்சமன்பாடு பகுதி வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

கீழே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், u என்பது சாராமாறிகள் x மற்றும் t அல்லது x மற்றும் y-ல் அமைந்த ஒரு சார்பு.

1. $\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.$
2. $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.$
3. $\frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.$

சாதாரண மற்றும் பகுதி வகைகெழுச் சமன்பாடுகள் இரண்டுமே நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் மற்றும் நேரியலில்லா வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் என இரு பெரிய பிரிவுகளின் கீழ் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டிலுள்ள மதிப்பறியப்படாத சார்பு மற்றும் அதன் வகைக்கெழுக்களின் அடுக்குகள் ஒன்று எனில் அச்சமன்பாடு நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனவும் மாறாக அடுக்குகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருப்பின் அச்சமன்பாடு நேரியலில்லா வகைக்கெழுச் சமன்பாடு எனவும் அழைக்கப்படும்.

தீர்வுகள்

சில வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் குறிப்பிட்ட வடிவில் எழுதலாம். கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணையில் H(x), Z(x), H(y), Z(y), அல்லது H(x,y), Z(x,y) என்பவை சாராமாறிகள் x அல்லது y (அல்லது இரண்டிலும்) அமைந்த தொகையிடத்தக்க சார்புகள். A, B, C, I, L, N, M மாறிலிகள். பொதுவாக A, B, C, I, L -மெய்யெண்கள். எனினும் N, M, P மற்றும் Q கலப்பெண்களாகவும் இருக்கலாம். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள், தொகையிடத்தக்கச் சமான வடிவில் அமைந்துள்ளன.

	வகையீட்டுச் சமன்பாடு	பொதுத்தீர்வு
1	$\frac{dy}{dx} = F(x)\,\!$ $dy= F(x) \, dx\,\!$	$y=\int F(x) \, dx\,\!$
2	$\frac{dy}{dx} = F(y)\,\!$ $dy= F(y) \, dx\,\!$	$x=\int \frac{dy}{F(y)}\,\!$
3	$H(y)\frac{dy}{dx} + Z(x)= 0\,\!$ $H(y) \, dy+ Z(x) \, dx =0\,\!$	$\int H(y) \, {dy}+\int Z(x) \, {dx} = C\,\!$
4	$\frac{dy}{dx} + H(x)y+Z(x)= 0\,\!$ $dy + H(x)y \, dx+Z(x) \, dx= 0\,\!$	$y = - e^{- U(x)} \int e^{U(x)}Z(x) \, {dx}\,,$ $U(x) = \int H(x) \, dx\,\!$
5	$\frac{dy}{dx} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!$	$\ln Cx = \int \frac{ d r}{F(r) - r} \, \!$ $r = y/x \,\!$
6	$\frac{d^2y}{dx^2} = F(y) \,\!$	$x = \pm \int \frac{ d y}{\sqrt{2 \int F(y) \, d y + C_1}} + C_2 \, \!$
7	$H(x,y) \frac{dy}{dx} + Z(x,y) = 0 \,\!$ $H(x,y) \, {dy} + Z(x,y) \, {dx} = 0 \,\!$	$\frac{\partial H}{\partial x} = \frac{\partial Z}{\partial y} \, \!$ எனில் தீர்வு: $F(x,y) = \int \left [ H(x,y) \, d y + Z(x,y) \, d x \right ] + \gamma (y) + \chi (x) = C \, \!$
8	$\frac{d^2y}{dx^2} + I\frac{dy}{dx} + Ly = 0\,\!$	$I^2 > 4L\,\!$ எனில். $y=Ne^{ \left ( -I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}} + Me^{-\left ( I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}}\,\!$ $I^2 = 4L\,\!$ எனில், $y = (Ax + B)e^{-Ix/2}\,\!$ $I^2 < 4L\,\!$ எனில், $y = e^{ -I\frac{x}{2}} \left [ P \sin{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} + Q\cos{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ] \,\!$
9	$\sum_{\alpha=1}^d I_{\alpha} \frac{d^\alpha y}{dx^\alpha} = 0\,\!$	$\sum_{\alpha=1}^d A_{\alpha} e^{B_{\alpha} x} = 0 \,\!$ இங்கு $B_{\alpha}, \,\!$ d படி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் d தீர்வுகள்: $\prod_{\alpha=1}^d \left ( B - B_{\alpha} \right ) = 0 \,\!$

குறிப்பிடத்தக்க வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல்

• நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி - இயக்கவியல்
• ஹேமில்டனின் சமன்பாடுகள் -செவ்வியல் இயக்கவியல் (classical mechanics)
• கதிரியக்கச் சிதைவு -அணுக்கரு இயற்பியல்
• நியூட்டனின் குளிர்ச்சி விதி - வெப்ப இயக்கவியல்
• அலைச்சமன்பாடு
• மாக்ஸ்வெல்லின் சமன்பாடுகள் -மின்காந்தவியல்
• இசைச்சார்புகளை வரையறுக்கும் லாப்லாசின் சமன்பாடுகள்
• பாய்சான் சமன்பாடுகள்
• ஐன்ஸ்டீனின் களச் சமன்பாடுகள் -பொது ஒப்புமைக் கொள்கை
• ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு -குவாண்டம் இயக்கவியல்
• ஜியோடெசிக் சமன்பாடு
• நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடுகள் -பாய்ம இயக்கவியல்
• கோஷி-ரீமன் சமன்பாடுகள் -மெய்ப்புனை பகுப்பியல்
• பாய்சான்-போல்ட்ஸ்மான் சமன்பாடு -மூலக்கூறு இயக்கவியல்
• ஷேலோ வாட்டர் சமன்பாடுகள்
• யுனிவர்சல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
• லாரன்ஸ் சமன்பாடுகள்

உயிரியல்

• Verhulst equation – biological population growth
• von Bertalanffy model – biological individual growth
• Lotka–Volterra equations – biological population dynamics
• Replicator dynamics – may be found in theoretical biology
• Hodgkin–Huxley model – neural action potentials

பொருளியியல்

• The Black–Scholes PDE
• Exogenous growth model
• Malthusian growth model
• The Vidale–Wolfe advertising model

மேற்கோள்கள்

• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
• E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956
• E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955
• P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006
• Calculus, Teach Yourself, P.Abbott and H. Neill, 2003 pages 266-277
• Further Elementary Analysis, R.I.Porter, 1978, chapter XIX Differential Equations</ref>

வெளி இணைப்புகள்

• Lectures on Differential Equations MIT Open CourseWare Videos
• Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
• Differential Equations, S.O.S. Mathematics
• Differential Equation Solver Java applet tool used to solve differential equations.
• Introduction to modeling via differential equations Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
• Mathematical Assistant on Web Symbolic ODE tool, using Maxima
• Exact Solutions of Ordinary Differential Equations
• Collection of ODE and DAE models of physical systems MATLAB models
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC