லெஜாண்டர் குறியீடு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் ஆய்லர் (1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த இருபடிய எச்சம் என்ற கருத்துக்கு லெஜாண்டர் குறியீடு (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.

இருபடிய எச்சம்

$a$ என்ற எண் $p$ என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம் என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு எண் $x$ க்கு, $a \equiv x^2 (mod p)$ என்ற சமான உறவு.

'$a$ என்ற எண் $p$ என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'

என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,

'மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம்'

என்றும் சொல்வதுண்டு:

எடுத்துக்காட்டாக,

$2 \equiv 3^2 (mod 7) \therefore 2, 7$ இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.

லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு

a, p இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்

$\left(\frac{a}{p}\right)$

என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது

மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம் என்பதை $\left(\frac{a}{p}\right) = +1$ என்றும்

மாடுலோ $p$ க்கு, $a$ ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது என்பதை $\left(\frac{a}{p}\right) = -1$ என்றும்

குறிகாட்டுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு

${25}^2 = 13(mod 17) \therefore \left(\frac{13}{17}\right) = +1.$

$x^2 = 5(mod 17)$ க்கு தீர்வு கிடையாது. $\therefore \left(\frac{5}{17}\right) = -1.$

லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள்

• $a \equiv b(mod p),$ என்றால்

$\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$

• $\left(\frac{1}{p}\right) = 1$
• $a, p$ இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், $\left(\frac{a^2}{p}\right) = +1$

• $a, p$ பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், $b, p$ பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,

$\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$

• $\left(\frac{-1}{p}\right)$ = $(-1)^{(p-1)/2}$ =$\begin{cases} 1 & if p \equiv 1(mod 4)\\ -1 & if p \equiv 3(mod 4) \end{cases}$

• • $\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8} \end{cases}$

• $\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8} \end{cases}$
• $\left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\-1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12} \end{cases}$
• p > 2 ஒரு பகாதனி என்றால்

$\left(\frac{5}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\-1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5 \end{cases}$

இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம்

காஸின் இருபடிய நேர் எதிர்மை இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:

p > 2, q > 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,

$\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ ((p-1)/2) ((q-1)/2) }$

குறியீட்டின் பயன்பாடு

எ.கா.: $-70 , 93$ இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:

$\left(\frac{-70}{93}\right) = \left(\frac{(-1)(7)(2)(5)}{93}\right)$

= $\left(\frac{-1}{93 }\right)\left(\frac{7}{93}\right)\left(\frac{2}{93}\right)\left(\frac{5}{93}\right)$

$= (-1)^{46} \left(\frac{93}{7 }\right) (-1)^{1081} \left(\frac{93}{5}\right) =(-1)\times \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right) = (-1) \times (+1)(-1) = +1$

$\therefore -70, 93$ இன் இருபடிய எச்சமே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமானம், மாடுலோ n