லெஜாண்டர் குறியீடு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் ஆய்லர் (1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த இருபடிய எச்சம் என்ற கருத்துக்கு லெஜாண்டர் குறியீடு (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.

இருபடிய எச்சம்[தொகு]

a என்ற எண் p என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம் என்பதற்கு இலக்கணம்:
ஏதாவதொரு எண் x க்கு, a \equiv x^2 (mod p) என்ற சமான உறவு.
'a என்ற எண் p என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'

என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,

'மாடுலோ p க்கு, a ஒரு இருபடிய எச்சம்'

என்றும் சொல்வதுண்டு:

எடுத்துக்காட்டாக,

2 \equiv 3^2 (mod 7) \therefore 2, 7 இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.

லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு[தொகு]

a, p இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்

\left(\frac{a}{p}\right)

என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது

மாடுலோ p க்கு, a ஒரு இருபடிய எச்சம் என்பதை \left(\frac{a}{p}\right)  =  +1 என்றும்

மாடுலோ p க்கு, a ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது என்பதை \left(\frac{a}{p}\right)  = -1 என்றும்

குறிகாட்டுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு[தொகு]

{25}^2 = 13(mod 17)  \therefore  \left(\frac{13}{17}\right) = +1.

x^2 = 5(mod 17) க்கு தீர்வு கிடையாது.  \therefore \left(\frac{5}{17}\right) = -1.

லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள்[தொகு]

  • a \equiv b(mod p), என்றால்

\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)

  • 
\left(\frac{1}{p}\right) = 1
  • a, p இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், \left(\frac{a^2}{p}\right)  = +1
  • a, p பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், b, p பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,
\left(\frac{ab}{p}\right) =  \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
  • 
\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2} =\begin{cases}
1  & if p \equiv 1(mod 4)\\
-1 & if p \equiv 3(mod 4) 
\end{cases}
    • 
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}  \end{cases}


  • 
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}  \end{cases}
  • 
\left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\-1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12}  \end{cases}
  • p > 2 ஒரு பகாதனி என்றால்

\left(\frac{5}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\-1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5  \end{cases}


இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம்[தொகு]

காஸின் இருபடிய நேர் எதிர்மை இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:

p > 2, q > 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,

\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ ((p-1)/2) ((q-1)/2) }

குறியீட்டின் பயன்பாடு[தொகு]

எ.கா.: -70 , 93 இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:

\left(\frac{-70}{93}\right) = \left(\frac{(-1)(7)(2)(5)}{93}\right)

=  \left(\frac{-1}{93 }\right)\left(\frac{7}{93}\right)\left(\frac{2}{93}\right)\left(\frac{5}{93}\right)

= (-1)^{46} \left(\frac{93}{7 }\right) (-1)^{1081} \left(\frac{93}{5}\right)

=(-1)\times \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right)

= (-1) \times (+1)(-1)  = +1

\therefore  -70, 93 இன் இருபடிய எச்சமே.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=லெஜாண்டர்_குறியீடு&oldid=1396745" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது