லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்

G = $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம் H = {0, 4}, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும் குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (Lagrange's theorem) கணிதத்தில் குலக் கோட்பாட்டுப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி (1736-1813) இதைக் கண்டுபிடித்தார். இத்தேற்றத்தின்படி ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை (கிரமம்) அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்.

தேற்றம்

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் கூற்று

ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும் (மீதமின்றி வகுக்கும்).

விளக்கம்

ஏதேனும் ஒரு முடிவுறு குலம் $G$; அதன் உட்குலம் $H$ எனில்,

$H$இன் வரிசை $|H|$

$G$ இன் வரிசை $|G|$

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி, $|G|$ ஐ $|H|$ மீதமின்றி வகுக்கும். அதனால் $\frac{|G|}{|H|}$ இன் மதிப்பு ஒரு முழு எண்ணாகும். இம்மதிப்பு, $G$ இல் $H$ இன் குறியெண் (Index) எனப்படும். இக்குறியெண்ணின் குறியீடு $[G : H].$

$[G : H] = \frac{|G|}{|H|}$

நிறுவல்

வலது இணைக்கணம் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்.

$G$ இன் உறுப்புக்களிடையே $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H$ என்ற உறவை ஏற்படுத்தினால், இவ்வுறவு சமான உறவாகும். மேலும் இது $G$ ஐ சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். இச்சமானப் பகுதிகள் $H$ இன் வலது இணைக்கணங்கள் எனப்படும். உட்குலம் $H$ ம் ஒரு சமானப் பகுதிதான் -- அது முற்றொருமை உறுப்பு $e$ ஐ உள்ளடக்கியிருக்கும் சமானப் பகுதி. இச்சமானப் பகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம் என்று காட்டிவிட்டால், லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டு விடும்.

$Ha, Hb$ என்ற ஏதாவது இரு வலது இணைக்கணங்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்கிடையே,

$f : Ha \rightarrow Hb,$ $f(x) = xa^{-1}b$

என்ற கோப்பினை வரையறுக்க, $\forall y\in$ $Hb,$ $f^{-1}(y) = yb^{-1}a$ என்பதும் உண்மையாவதால் இக்கோப்பு ஓர் இருவழிக் கோப்பாக அமையும். இந்த இருவழிக்கோப்பின் ஆட்களம் $Ha$ மற்றும் இணை ஆட்களம் $Hb$ இரண்டின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே $G$ இன் அனைத்து சமானப்பகுதிகளின் ($H$ உட்பட) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் $|H|$ க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

$\Rightarrow |G| = |H| \times [G : H]$ ([G : H] = சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.)

$\Rightarrow |G|$ ஐ $|H|$ மீதியின்றி வகுக்கும். லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

விளைவுகள்

• குலத்தின் ஓர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் கிரமம் அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.

• இன்னொரு முக்கியமான விளைவு: ஒரு குலத்தின் கிரமம் பகா எண்ணாக இருக்குமானானால் அது சுழற்குலமாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

• லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை

$|G| = [G : H] \times |H|$

என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் $G, H$ க்கும் எண்ணளவை என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• பர்ன்ஸைடின் பிரச்சினைகள்
• லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (எண்கோட்பாடு)
• லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்

வெளியிணைப்புகள்

http://dogschool.tripod.com/lagrange.html