லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (Lagrange's theorem) கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டுப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். இத்தாலியக் கணிதவியலர் லாக்ராஞ்சி (1736-1813) இதை முதன்முதல் கண்டுபிடித்தார்.

அது என்ன சொல்கிறதென்றால், ஒரு முடிவுறு குலத்தின் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் கிரமம் (= உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) (order) தாய்க்குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.

தாய்க்குலத்தை $G$ யாகவும் உட்குலத்தை $H$ ஆகவும் கொண்டால், $|H|, |G|$ஐ சரியாக வகுக்கிறது. இதனால் பின்வரும் வரையறை நியாயப் படுத்தப்படுகிறது:

வரையறை: முழு எண் $\frac{|G|}{|H|}$ , $G$ இல் $H$ இன் குறியெண் (Index) எனப்படும். இதற்குக் குறியீடு $[G : H].$

நிறுவல்

வலது இணைக்கணம் என்ற கருத்து இங்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது.$G$ இன் உறுப்புக்களிடையே

$x \mathcal{R} y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H$

என்றோர் உறவு உண்டாக்கு. இவ்வுறவு, சமான உறவின் மூன்று நிபந்தனைகளையும் சரியாக்குவதால், இது $G$ ஐ சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. இச்சமானப் பகுதிகள் $H$ இன் வலது இணைக்கணங்கள் என்றும் கூறப்படும்.இச்சமானப் பகுதிகள் எல்லாவற்றிலும் உறுப்புகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் இருக்கும் என்று காட்டிவிட்டால், லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டு விடும்; ஏனென்றால் உட்குலம் $H$ ம் ஒரு சமானப் பகுதிதான் -- அது முற்றொருமை $e$ ஐ உள்ளடக்கியிருக்கும் சமானப் பகுதி.

$Ha, Hb$ என்ற இரண்டு வலது இணைக் கணங்களைப் பார். அவைகளினிடையே

$f : Ha \rightarrow Hb$

$f(x) = xa^{-1}b$

என்ற கோப்பைப் பார். இது ஓர் இருவழிக் கோப்பு; ஏனென்றால்,$Hb$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $y$ க்கும், $f^{-1}(y) = yb^{-1}a.$ Q.E.D.

விளைவுகள்

• ஒர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் கிரமம் அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.

• இன்னொரு முக்கியமான விளைவு: ஒரு குலத்தின் கிரமம் பகா எண்ணாக இருக்குமானானால் அது சுழற்குலமாகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

• லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை

$|G| = [G : H] \times |H|$

என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் $G, H$ க்கும் எண்ணளவை என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• பர்ன்ஸைடின் பிரச்சினைகள்
• லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (எண்கோட்பாடு)
• லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்