லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
G = \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம் H = {0, 4}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும் குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (Lagrange's theorem) கணிதத்தில் குலக் கோட்பாட்டுப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி (1736-1813) இதைக் கண்டுபிடித்தார். இத்தேற்றத்தின்படி ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை (கிரமம்) அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்.

தேற்றம்[தொகு]

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் கூற்று

ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும் (மீதமின்றி வகுக்கும்).

விளக்கம்

ஏதேனும் ஒரு முடிவுறு குலம் G; அதன் உட்குலம் H எனில்,

Hஇன் வரிசை |H|
G இன் வரிசை |G|

லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி, |G||H| மீதமின்றி வகுக்கும். அதனால் \frac{|G|}{|H|} இன் மதிப்பு ஒரு முழு எண்ணாகும். இம்மதிப்பு, G இல் H இன் குறியெண் எனப்படும். இக்குறியெண்ணின் குறியீடு [G : H].

[G : H] = \frac{|G|}{|H|}

நிறுவல்[தொகு]

வலது இணைக்கணம் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்.

 G இன் உறுப்புக்களிடையே x  \mathcal{R} y  \Leftrightarrow xy^{-1} \in H என்ற உறவை ஏற்படுத்தினால், இவ்வுறவு சமான உறவாகும். மேலும் இது Gசமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கும். இச்சமானப் பகுதிகள் H இன் வலது இணைக்கணங்கள் எனப்படும். உட்குலம் H ம் ஒரு சமானப் பகுதிதான் -- அது முற்றொருமை உறுப்பு e ஐ உள்ளடக்கியிருக்கும் சமானப் பகுதி. இச்சமானப் பகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம் என்று காட்டிவிட்டால், லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டு விடும்.

Ha, Hb என்ற ஏதாவது இரு வலது இணைக்கணங்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்கிடையே,

f : Ha \rightarrow Hb, f(x) = xa^{-1}b

என்ற கோப்பினை வரையறுக்க, \forall y\in Hb, f^{-1}(y) = yb^{-1}a என்பதும் உண்மையாவதால் இக்கோப்பு ஓர் இருவழிக் கோப்பாக அமையும். இந்த இருவழிக்கோப்பின் ஆட்களம் Ha மற்றும் இணை ஆட்களம்  Hb இரண்டின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே G இன் அனைத்து சமானப்பகுதிகளின் ( H உட்பட) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் |H| க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

\Rightarrow |G| = |H| \times [G : H] ([G : H] = சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.)
\Rightarrow  |G||H| மீதியின்றி வகுக்கும். லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

விளைவுகள்[தொகு]

  • குலத்தின் ஓர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் கிரமம் அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.
  • லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை
|G| = [G : H] \times |H|

என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் G, H க்கும் எண்ணளவை என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]


வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

http://dogschool.tripod.com/lagrange.html