மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்

எண்கணிதத்தில் மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண் (centered polygonal number) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். தரப்பட்டப் புள்ளிகளில்,ஒரு புள்ளியை மையப்படுத்தி மற்ற புள்ளிகளை அந்த மையப்புள்ளியைச் சுற்றி ஒரு ஒழுங்கு பலகோண வடிவின் அடுக்குகளாக அடுக்கப்பட்டால் அப்புள்ளிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வடிவ எண்ணாகும். ஒரு அடுக்கின் பலகோணத்தின் ஒரு பக்கத்திலுள்ள புள்ளிகள் அதற்கு முந்தைய அடுக்கின் பலகோணத்தின் ஒரு பக்கத்திலுள்ள புள்ளிகளைவிட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும்.

முக்கியமான மையப்படுத்தப்பட்ட வடிவ எண்கள்

• மையப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்கள் 1,4,10,19,31,... (OEISஇல் வரிசை A005448 )
• மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள் 1,5,13,25,41,... (A001844)
• மையப்படுத்தப்பட்ட கன எண்கள் 0, 1, 8, 27, 64,.. ((OEISஇல் வரிசை A000578 ))
• மையப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்கள் 1,6,16,31,51,... (A005891)
• மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்கள் 1,7,19,37,61,... (A003215)
• மையப்படுத்தப்பட்ட எழுகோண எண்கள் 1,8,22,43,71,... (A069099)
• மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்கள் 1,9,25,49,81,... (A016754)
• மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்கள் 1,10,28,55,91,... (A060544)
• மையப்படுத்தப்பட்ட தசகோண எண்கள் 1,11,31,61,101,... (A062786)

பட விளக்கம்

எடுத்துக்காட்டாக மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள் மற்றும் மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்களுக்கான பட விளக்கங்களைக் காணலாம்.

மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள்

1		5		13		25

மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்கள்

1		7		19		37

வாய்ப்பாடு

மேலேயுள்ள படங்களில் உள்ளதுபோல ஒரு n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்ணை, ஒரு மையப்புள்ளியைச் சுற்றி (n−1) -ஆம் முக்கோண எண்களின் k பிரதிகளை வைப்பதன் மூலம் பெறமுடியும்.

எனவே n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்:

$C_{k,n} =\frac{kn}{2}(n-1)+1.$

பலகோண எண்களில் உள்ளது போல மையப்படுத்தப்பட்ட எண்களிலும் முதல் எண் 1 தான். எந்தவொரு k மதிப்பிற்கும், k-கோண மற்றும் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்களில் முதல் எண் 1 ஆகும்.. அதற்கடுத்த k-கோண மற்றும் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்ணைப் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணலாம்:

$\frac{k^2}{2}(k-1)+1$

இதிலிருந்து எண் 10, முக்கோண எண் மற்றும் மையப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்ணாகவும் 25 சதுர எண் மற்றும் மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணாகவும் இருப்பதைக் காணலாம். ....

ஒரு பகா எண் பலகோண எண்ணாக இருக்கமுடியாது. ஆனால் பல மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்கள் பகா எண்களாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Neil Sloane & Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press (1995): Fig. M3826
• Eric W. Weisstein, Centered polygonal number at MathWorld.