முறுக்கு விசை

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
மாற்றப்படக்கூடிய ஒரு மறைதிருகி மூலம் அளிக்கப்படும் முறுக்கு விசை

இயற்பியலில், முறுக்கு விசை (திருப்புத்திறன் என்றும் சிலசமயம் அறியப்படும், அஃதாவது ஒரு விசையின் திருப்புத்திறன்) என்பதை கோண விசை அல்லது வளைவு விசை என்றும் கூறலாம். அஃதாவது, ஒரு பொருளின் சுழற்சி இயக்கத்தை மாற்றவல்ல விசை (விசை அல்லது நேர்விசை என்பது ஒரு பொருளின் நேரியல் இயக்கத்தை மாற்றவல்லது என்பதை ஒத்த ஒரு கருத்துரு).

இஃது, நேர்விசை மற்றும் ஒரு ஆரத்தின் (நெறிமப்) பெருக்கல் என வரையறுக்கப்படும்.

முறுக்கு விசையின் SIஅலகு நியூட்டன்.மீட்டர் (N.m) ஆகும். முறுக்கு விசை τ(டவ்) என்ற கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

கருத்துருவின் வரலாறு[தொகு]

ஒரு மண்டலத்தில் இயங்கும் விசை, முறுக்கு விசை மற்றும் கோண உந்தம் இவற்றிர்க்கிடையிலான தொடர்பு

முறுக்கு விசையென்ற கருத்துரு நெம்புகோல்கள் மீதான ஆக்கிமிடீஸின் ஆய்விலிருந்து தொன்றியது. விசை, திணிவு மற்றும் வேகவளர்ச்சி முதலியவற்றின் சுழற்சி ஒப்புமைகள் முறையே முறுக்கு விசை, நிலைமாறு உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் ஆகியவையே.

கருத்து விளக்கம்[தொகு]

ஒரு நெம்புகோலின் மேல் அளிக்கப்பட்ட விசை மற்றும் அக்கோலின் இயங்குபுள்ளியிலிருந்தான அதன் தொலைவு இவற்றின் பெருக்கலே முறுக்கு விசையாகும். எடுத்துக்காட்டாய், ஒரு நெம்புகோலின் இயங்குபுள்ளியிலிருந்து 2 மீ தொலைவில் இயங்கும் 3 நியூட்டன் விசையும், 6 மீ தொலைவில் இயங்கும் 1 நியூட்டன் விசையும் ஒரே முறுக்கு விசையைதான் விளைவிக்கும். (இங்கு, விசை நெம்புகோலின் நீளத்திற்க்கு செங்குத்தாய் இயங்குவதாய் கொள்ளப்பட்டது.)

முறுக்கு விசையின் திசையை வலக்கை விதி மூலம் அறியலாம்: வலக்கை விரல்களை சுழற்சி திசையில் வளைத்து, பெருவிரல் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்படி பிடித்தால், பெருவிரல் நோக்கும் திசையே முறுக்கு விசையின் (முறுக்கு விசைத் திசையனின்) திசையாகும்.

கணிதக்கூற்றில், (குறிப்பிட்ட ஒரு ஒப்புச்சட்டதில், r என்ற இடநிலைத் திசையன் கொண்ட) ஒருப் துகளின் மீதான முறுக்கு விசையை பின்வரும் நெறிமப் பெருக்கலின் மூலம் காணலாம்:

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

இங்கே,

r என்பது அத்துகளின் இடநிலைத் திசையன்
F என்பது அத்துகளின் மேல் செயல்படும் விசை

அஃதில், பொதுவில், முறுக்கு விசை என்பதை கோண உந்ததின் காலவகையீடாகக் கொள்ளலாம். (கவனிக்க: நேர் மற்றும் சுழற்சி இயக்கங்களின் ஒப்புமை. விசை என்பது நேர் உந்ததின் காலவகையீடு)

\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}

இங்கே,

L என்பது கோண உந்தத் திசையன்
t என்பது காலத்தை குறிக்கும்

இவ்வரையறைகளின் தொடர்வாய் முறுக்கு விசை என்பது ஒரு திசையன் எனவறியலாம், இஃது தன் இயக்கத்தால் விளையப்போகும் சுழற்சியின் அச்சை நோக்கியிருக்கும் (வலக்கை சுழற்சி).

அலகுகள்[தொகு]

முறுக்கு விசையின் அலகு, விசைxநீளம் என்பதாகும். இதன் SI அலகு நியூட்டன்.மீட்டர் எனவழங்கப்படும். கணித மரபுப்படி நியூட்டன்.மீட்டர் அல்லது மீட்டர்.நியூட்டன் என வழங்குவதில் முரணில்லை என்றாலும், எடைகள் மற்றும் அளவுகளுக்கான அனைத்துலகக் குழு [1] நியூட்டன்.மீட்டர் என்றுதான் வழங்கப்பட வேண்டுமென வலியுறுத்தியுள்ளது.

ஜூல், ஆற்றல் அல்லது (இயக்க) வேலை ஆகியவற்றின் SI அலகு, என்பதும் ஒரு N.m என்றே வரையறுக்கப் பட்டிருந்தாலும், இதை முறுக்கு விசையின் அலகாய்ப் பயன்படுத்த இயலாது. ஆற்றல், விசை மற்றும் தொலைவின் பெருக்கல் என்பதால், இஃது எப்பொழுதும் ஓர் அளவெண்ணாகவே இருக்கும், ஆனால் முறுக்கு விசை, விசை மற்றும் தொலைவின் நெறிமப் பெருக்கல் பயனாதலின் அஃது (கள்ள)நெறிம மதிப்புப் பெற்றதாகும். ஆனால் இவையிரண்டும் ஒரே பரிமாணம் பெற்றிருப்பது தற்செயலன்று, ஒரு N.m மதிப்புக் முறுக்கு விசையை ஒரு முழுசுழற்சியில் இயக்க சரியாய் 2 பை ஜூல் ஆற்றல் தேவை. கணிதக்கூற்றில்,

E= \tau \theta\

இங்கே,

E என்பது ஆற்றல்
t என்பது முறுக்கு விசை
θ என்பது சுழற்றப்பெற்ற கோணம், ஆரையன்களில்.

தனிச்சிறப்பு இயக்கங்களும் பிறத் தகவல்களும்[தொகு]

திருப்புக் கரம் வாய்ப்பாடு[தொகு]

திருப்புக் கரம் வரைபடம்

இஃது மிகப்பயனுள்ள ஒரு வாய்ப்பாடு, பலசமயங்களில் (இயற்பியல் விடுத்து பிற துறைகளில்) முறுக்கு விசையின் வரையறையாகவும் வழங்கப்படும் இது பின்வருமாறு,

\boldsymbol{\tau} = (\textrm{moment\ arm}) \cdot \textrm{force}

முன்னர் குறிக்கப்பட்ட r மற்றும் F திசையன்களுடன் சேர்த்து, திருப்புக் கரத்தின் அமைப்பு படத்தில் காட்டப்பெற்றுள்ளது. இவ்வரையறையிலுள்ள குறைபாடு, முறுக்கு விசையின் பரும அளவை மட்டுமே இதன் மூலம் அறியமுடியும் திசையை அல்ல, ஆதலின் இதை முப்பரிமாண அமைப்பில் பயன்படுத்த இயலாது. விசை நெறிமன் பெயர்வு நெறிமனுக்கு செங்குத்தாய் இருந்தால் பின் திருப்புக் கரம் என்பது (இயக்க) மையத்திலிருந்தான தொலைவேயாகும், மேலும் முறுக்கு விசை குறிப்பிட்ட அவ்விசைக்கான அதிகபட்சமாகும். ஒரு செங்குத்து விசையால் விளையும் முறுக்கு விசையின் பருமையை காண்பதற்க்காண வாய்ப்பாடு பின்வருமாறு,

\boldsymbol{T} = (\textrm{distance\ to\ center}) \cdot \textrm{force}

எடுத்துக்காட்டாக, 10 நியூட்டன் விசையை ஒரு நபர் 0.5 மீட்டர் நீளமுள்ள ஒரு மறைதிருகியின் முனையில் செயல்படுத்தினால் (அத்திருகியின் மறுமுனையில்) விளையும் முறுக்கு விசையின் பருமை 5 நியூட்டன்.மீட்டர் ஆகும். இங்கு, அந்த நபர் அவ்விசையை மறைதிருகியில் (அதன் நீளத்திற்க்கு) செங்குத்தாய் செயல்படுத்துவதாய் கருதிக் கொள்ளப்பட்டுள்ளது.

ஒரு கோணத்திலான விசை[தொகு]

F என்ற பருமைக் கொண்ட விசை ஒன்று r நீளம்கொண்ட பெயர்ப்புத்தொலைவுக் கரத்திற்க்கு θ என்ற கோணத்தில் (சுழற்சி அச்சிற்க்கு கிடைத்தளத்தில்) வினை புரிந்தால் விளையும் முறுக்கு விசையானது, குறுக்குப் பெருக்கலின் வரையரைப்படி, பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் தரப்படும்:

\boldsymbol \tau=rF \sin\theta

நிலை சமனிலை[தொகு]

எந்தவொரு பொருளும் நிலை சமநிலையில் இருக்க வேண்டுமானால், (அதன் மீது இயங்கும்) அனைத்து விசைகளின் கூட்டல் மட்டுமல்ல, எந்தவொரு புள்ளியின் மீதன அனைத்து முறுக்கு விசைகளின் கூட்டல் மதிப்பும் சூன்யமாக இருத்தல் வேண்டும். கிடை மற்றும் நெடு விசைகளைக் (மட்டுமே) கொண்ட இருபரிமாண அமைப்பில், விசைகளின் கூட்டலுக்கான நிபந்தனை இரண்டு சமன்பாடுகள்: ΣH = 0 மற்றும் ΣV = 0, மேலும் முறுக்கு விசைக்கு மூன்றாவதாய்: Στ = 0 என்ற சமன்பாடு. ஆக, நிலை இயக்கத்தில் கண்டறியக்கூடிய சமநிலை பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க நாம் மூன்று சமன்பாடுகளை பயன்படுத்த வேண்டும்.

காலத்தின் சார்பாய் முறுக்கு விசை[தொகு]

இரண்டு எதிர்ரெதிர் விசைகளால், Fg மற்றும் -Fg, எழுந்த முறுக்கு விசை அதன் திசையில் கோன உந்தத்தை, L, மாற்றும், இதனால் அப்பம்பரத்தின் அச்சு சுழலும்.

விசை நேர் உந்தத்தின் காலவகையீடு என்பதைப் போல், முறுக்கு விசை கோண உந்தத்தின் காலவகையீடு:

\boldsymbol{\tau} ={\mathrm{d}\mathbf{L} \over \mathrm{d}t} \,\!

இங்கு,

L என்பது கோண உந்தம்.

திடமான ஒருப் பொருளின் கோண உந்தத்தை அதன் நிலைமாறு உந்தம் மற்றும் கோணத் திசைவேகம் இவற்றின் சார்பாய் கூறலாம்:

\mathbf{L}=I\,\boldsymbol{\omega} \,\!

ஆதலின், \boldsymbol I \,\! மாறிலியானால்,

\boldsymbol{\tau}=I{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega} \over \mathrm{d}t}=I\boldsymbol{\alpha} \,\!

இங்கே α என்பது கோண வேகவளர்ச்சி, பொதுவில் இம்மதிப்பு ஆரயன்கள்/நொடி2 என்ற அலகில் அளக்கப்படும்.

இயந்திர முறுக்கு விசை[தொகு]

ஒரு இயந்திரப்பொறியின் அடிப்படை குறிப்புத்தரவுகளில் ஒன்று முறுக்கு விசையாகும்: இயந்திரப்பொறியின் சக்தி வெளியீடு அதன் முறுக்கு விசை மற்றும் சுழற்சி வெகம் இவற்றின் பெருக்கலாக தரப்படும். உள் எரி பொறிகள் பயனுள்ள முறுக்கு விசையை ஒரு குறிப்பிட்ட சுழல் வேக சரகத்திற்குள்தான் (பொதுவில், ஒரு சிறிய தானுந்து வண்டிக்கு இச்சரகம் 1000 முதல் 6000 சுயற்சி/மணித்துளி வரையிலாகும்) வெளியிடுகின்றன. இச்சரகத்திலான மாறு முறுக்கு விசை வெளியீட்டை ஒரு இயக்கமாணி கொண்டு அளக்கலாம், மேலும் அவ்வாறு அளக்கப்பட்ட மதிப்புகளை ஒரு முறுக்கு விசை வளைவியாகவும் தரலாம். இம்முறுக்கு விசை வளைவியின் உச்சி, பொதுவாய், ஒட்டுமொத்த ஆற்றல் (வளைவியின்) உச்சிக்கு சற்றே தாழ்ந்திருக்கும். முறுக்கு விசை (வளைவியின்) உச்சி, அதன் வரையருவிற்க்கு உட்பட்டு, ஆற்றல் (வளைவியின்) உச்சதைவிட அதிக சுழற்சி/மணித்துளி மதிப்பில் தோண்றாது.

முறுக்கு vவிசை, சக்தி மற்றும் பொறியின் (சுயற்சி) வேகம் ஆகியவற்றிர்கு இடையிலான தொடர்பை புரிந்து கொள்ளுதல் தானியங்கிப் பொறியியலில் உயிர்நாடியாகும், பொறியிலிருந்து இயக்கத் தொடரிகள் மூலமாய் சக்தியை சக்கரங்களுக்கு கடத்துவதைப் போன்றே இஃதும் முக்கியமானதாகக் கருதப்படுகின்றது. வழக்கில், சக்தியென்பது முறுக்கு விசை மற்றும் பொறி (சுயற்சி) வேகத்தின் சார்பு. இயக்கத் தொடரிகளின் பற்சக்கர அமைப்பை பொருத்தமாய் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் பொறியின் முறுக்கு விசைப் பண்புகளை திறம்பட அமைக்கலாம்.

நீராவிப் பொறிகளும், மின்சார சுழலிகளும் சுழற்சி/மணித்துளி சூன்ய மதிப்பு அருகையில்[2] அதிகபட்ச முறுக்கு விசை உருவாக்கும், அப்பொறிகளின் சுழற்சி வேகம் ஏற ஏற (உராய்வு மற்றும் பிறத்தடைகளினால்) அதன் முறுக்கு விசை வெளியீடு மங்கும். ஆகையினால், இவ்வகை பொறிகளின் இயக்கத் தொடரி அமைப்பு உள் எரி பொறிகளின் இயக்கத் தொடரி யிலிருந்து வேறுபட்டு இருக்கும்.

அனைத்து எளிய இயந்திரங்களின் இயக்க அனுகூலத்தை விளக்க முறுக்கு விசை ஒரு இலகுவான வழியாகும்.

முறுக்கு விசை, சக்தி மற்றும் ஆற்றல் ஆகியவற்றிர்க் இடையேயான தொடர்பு[தொகு]

ஒரு விசையை குறிப்பிட்ட தொலைவு இயங்கச் செய்தால் அது இயந்திர வேலை புரியும். அதேபோல், ஒரு முறுக்கு விசையை குறிப்பிட்ட கொண தொலைவு இயங்கச் செய்தால் அது வேலை புரியும். சக்தி என்பது ஒரு அலகு காலத்தில் (அஃதாவது பொதுவில், ஒரு நொடியில்) செய்யப்படும் வேலையாகும். எனினும், காலமும் கோணத் தொலைவும் கோண வேகம் மூலம் தொடர்புடையன, இங்கு, ஒவ்வொரு சுழற்சியும் முறுக்கு விசையை உண்டாக்கும் விசைகளை சுற்றளவு முழுமையும் பயனப்பட வைக்கின்றது. இதன் பொருள், கோண வேகத்தை வளரச்செய்யும் முறுக்கு விசையானது வேலை புரிகின்றது என்பதாகும், அதனால் உருவாக்கப்பெற்ற சக்தியை பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

\mbox{Power}=\mbox{torque} \times \mbox{angular speed} \,

சமன்பாட்டின் வலக்கை பக்கம் இருப்பது இரண்டு நெறிமங்களின் புள்ளிப்பெருக்கல் இஃது இடக்கை பக்கமுள்ள அளவெண் மதிப்பை ஈணும்.

கணிதவியல்படி, இச்சமன்பாட்டை மாற்றியமைத்து, தரப்பட்ட சக்தி வெளியீட்டிற்க்கான முறுக்கு விசையை கண்டறியப் பயன்படுத்தலாம், ஆயினும் நடைமுறையில், சக்தி வெளியீட்டை நேரிடையாய் அளக்கவியலாது, ஆனால், முறுக்கு விசை மற்றும் கோண வேகம் ஆகியவற்றை நேரிடையாய் அளப்பது எளிது.

முறையான அலகுகளைப் பயன்படுத்த வேண்டியது அவசியம். மெட்ரிக் SI முறையில், சக்தியின் அலகு வாட்டுகள், முறுக்கு விசை நியூட்டன்.மீட்டரிலும், கோண வேகம் ஆரையன்கள்/நொடி என்ற அலகிலும் அளக்கப்பட வேண்டும் (சுழற்சிகள்/நொடி அலகில் அல்ல).

மேலும், நியூட்டன்.மீட்டர் என்ற அலகு ஆற்றலுக்குறிய அலகான ஜூல்-ஐ பரிமாணத்தில் ஒத்திருந்தாலும், ஆற்றலை பொறுத்தவரை இவ்வலகு அளவெண் மதிப்பிற்கும், முறுக்கு விசையை பொறுத்தவரை நெறிமன் மதிப்பிற்கும் கொள்ளப்படுகிறது.

பிற அலகுகளுக்கு மாற்றல்[தொகு]

ஆற்றல், முறுக்கு விசை மற்றும் கோண வேகம் முதலியவற்றின் வெவ்வேறு அலகுகளுக்கு அவற்றிர்கேற்ற மாற்று காரனிகளை மேற்குறிப்பிட்ட சமன்பாட்டில் சேர்க்க வேண்டும். மேலும், கோண வேகத்திற்க்கு (ஆரயன்கள்/காலம்) பதிலாய் சுழற்சி வேகம் (சுழற்சி/காலம்) பயன்படுத்தப்பெற்றால் அதற்க்குறிய மாற்று காரணியாய் 2 \pi சேர்க்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில், ஒரு முழூசுழற்சியில் 2 \pi ஆரயன்கள் அடங்கியுள்ளன:

\mbox{Power} = \mbox{torque} \times 2 \pi \times \mbox{rotational speed} \,,

இங்கு, சுழற்சி வேகம் என்பது ஒரு அலகு காலத்தில் நிறைவுப்பெற்ற சுழற்சிகள்.

SI அலகுகளில் உபயோகமான வாய்ப்பாடு:

 \mbox{Power (kW)} = \frac{ \mbox{torque (Nm)} \times 2 \pi \times \mbox{rotational speed (rpm)}} {60000}

இதில், 60,000 என்பது, நிமிடத்திற்க்கு 60 நொடிகள் மற்றும் கிலோவாட்டுக்கு 1000 வாட்டுகள் என்பதையடுத்து இடம்பெற்றது.

சிலசமயங்களில் (அமெரிக்க பொறியியலாளர் வழக்கில்), ஆற்றலை குதிரைசக்தியை கொண்டும், முறுக்கு விசையை அடி-பவுன்டுகளிலும், கோண வேகத்தை சுழற்சி/நிமிடம் கொண்டும் அளக்கையில், பின்வருமாறு சமன்பாடு மாற்றப்பெறும்:

 \mbox{Power (hp)} \approx \frac{ \mbox{torque(lbf}\cdot\mbox{ft)} \times \mbox{rotational speed (rpm)} }{5252}

இதிலுள்ள மாற்றுக் காரணி தோராயமானதே காரணம் அதில் இடம்பெற்ற π என்ற விஞ்சிய எண்னேயாகும். சற்றே துல்லியமான மதிப்பை 33,000 (அடி•பவுன்டு./நிமிடம்) / 2π (ஆரையன்கள்/சுழற்சி) என்பதிலிருந்து கணிக்கலாம், அஃது 5252.113 122 032 55... எனவரும்.

இதேபோல் பிற அலகுகளை பயன்படுதினால் அவற்றிர்க்கேற்ற மாற்றுக் காரணிகளை பயன்படுத்த வேண்டும்.

வரைத்தல்[தொகு]

சுழலும் ஒரு பொருளுக்கு, அதன் சுற்றளவில் ஒரு ஆரையன் சுற்றில் கடக்கப்பட்ட (நேர்) தொலைவு என்பது அதன் ஆரம் மற்றும் கோண வேகத்தின் பெருக்கல் ஆகும். அஃதாவது, (நேர்) வேகம் = ஆரம் x கோண வேகம். வரையருப்படி, (நேர்) தொலைவு = (நேர்) வேகம் x காலம் = ஆரம் x கோண வேகம் x காலம்.

முறுக்கு விசையின் வரையருவின்படி: முறுக்கு விசை = விசை x ஆரம். இதை மற்றியமைப்பதன் மூலம் நாம் விசைக்கான சமன்பட்டை பெறலாம்: விசை = முறுக்கு விசை/ஆரம். இவற்றை சக்தியின் வரையரு சமன்பாடில் பயன்படுத்தினால்:

\mbox{power} = \frac{\mbox{force} \times \mbox{linear distance}}{\mbox{time}}=\frac{\left(\frac{\mbox{torque}}{r}\right) \times (r \times \mbox{angular speed} \times t)} {t} = \mbox{torque} \times \mbox{angular speed}

என்று பெறலாம்.

இதில், நேர் மற்றும் கோண வேகங்களுக்கு இடையே (தொடக்கத்தில்) கொள்ளப்பட்ட நேரடித் தொடர்பின் காரணமாய், கோண வேகம் ஆரையன்களில் (ஆரையன்கள்/காலம்) இருக்க வேண்டியது அவசியமாகிறது.

இக்கட்டுரையில் பயன்படுத்தப்பெற்ற கலைச்சொற்கள்[தொகு]

முறுக்கு விசை, கோண விசை
அல்லது வளைவு விசை
Torque
நெறிமப் பெருக்கல் Cross product
நெம்புகோல் Lever
(நெம்புகோலின்) இயங்குபுள்ளி Fulcrum
ஒப்புச்சட்டம் Reference frame
இடநிலைத் திசையன் Position vector
துகள் Particle
காலவகையீடு Time derivative
பரிமாணம் Dimension
அளவெண் Scalar
கள்ள நெறிமன் Pseudovector
ஆரையன் Radius
உந்தக் கரம் Moment arm
பெயர்வு நெறிமன் Displacement vector
பருமை Magnitude
மறைதிருகி Spanner
நிலை சமனிலை Static equilibrium
இயந்திரப்பொறி Engine
குறிப்புத்தரவுகள் Specifications
உள் எரி பொறி Internal combustion engine
தானுந்து வண்டி Automobile
இயக்கமாணி Dynamometer
இயக்கத் தொடரி Drive train
மின்சார சுழலிகள் Electric motor
விஞ்சிய எண் Transcendental number

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. BIPM (Bureau International des Poids et Mesures)
  2. சூன்ய மதிப்பை அருகையில் என்பதை கவனிக்கவும், சுழற்சி/மணித்துளி உண்மையில் சூன்யம் என்றிருந்தால் அப்பொறி இயங்கவில்லை என்பது பொருள் அந்நிலையில் அதன் முறுக்கு விசை வெளியீடும் சூன்யமாகத்தான் இருக்கும், ஆனால் அப்பொறி எந்தளவிற்கு மெதுவாய் சுழல்கிறதோ அந்தளவிற்கு அதன் முறுக்கு விசை வெளியீடு அதிகரிக்கும் என்பதே இதன் பொருள்

உசாத்துணைகள்[தொகு]

  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. 

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=முறுக்கு_விசை&oldid=1607218" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது