பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு

நாற்கரம் -ABCD.

வடிவவியலில் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு (Bretschneider's formula) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு. இந்த வாய்ப்பட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:

$K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.$

இங்கு a, b, c, d – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், s -நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு, மற்றும் $\alpha \,$, $\gamma \,$ -இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள். எதிரெதிர்க் கோணங்கள் $\beta \,$, $\delta \,$ -வாகவும் இருக்கலாம். ஏனெனில் நான்கு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360$ என்பதும் $cos(\theta) = cos (360 - \theta)$ என்பதும் உண்மை.

பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நாற்கரங்கள் வட்ட நாற்கரங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

1842 -ல், ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர் இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும் இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.

நிறுவல்

நாற்கரத்தின் பரப்பை K எனக் குறித்தால்:

$\begin{align} K &= \text{area of} \triangle ADB + \text{area of} \triangle BDC \\ &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. \end{align}$

$\begin{align} 2K = a d \sin \alpha + b c \sin \gamma. \end{align}$

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

$4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. \,$ ------(1)

கொசைன் விதிப்படி:

$BD^2 = a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, \,$

$a^2 +d^2 -b^2 -c^2 = 2ad \cos \alpha -2bc \cos \gamma, \,$

$\frac{a^2 +d^2 -b^2 -c^2}{2} = ad \cos \alpha -bc \cos \gamma, \,$

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

$\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. \,$----------(2)

(1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:

$4K^2 + \frac{(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2}{4} = (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \,$

$16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \,$

$16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd\cdot (2\cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) - 1). \,$

$16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 + 8abcd - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \,$

$16K^2 = (2(ad)+2(bc))^2- (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \,$

இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$16K^2 = (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).$

அரைச்சுற்றளவு:

$s = \frac{a+b+c+d}{2},$ -ஐப் பயன்படுத்த:

$(b+c+d-a) = 2(s-a)$

$(a+c+d-b) = 2(s-b)$

$(a+b+d-c) = 2(s-c)$

$(a+b+c-d) = 2(s-d)$

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

$16K^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)$

$K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)$

வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:

$K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.$

தொடர்புள்ள பிற வாய்பாடுகள்

முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Bretschneider's formula" from MathWorld.