பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

யூக்ளிடின் வடிவவியலில் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு என்பது (Brahmagupta's formula) வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு ஆகும். ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் தரப்பட்டிருக்கும் போது இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அந்த வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காணலாம்.

அடிப்படைப் படிவம்[தொகு]

பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிமையானதும் எளிதில் மனதில் பதியக்கூடியதுமான படிவம், a, b, c, d -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைத் தருகிறது:

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

இங்கு s, நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு.

s=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot
s-a= \frac{-a+b+c+d}{2}
s-b= \frac{a-b+c+d}{2}
s-c= \frac{a+b-c+d}{2}
s-d= \frac{a+b+c-d}{2}

இவ்வாய்ப்பாடு முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஹீரோனின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டப் படிவமாக அமைகிறது. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டில் d -ன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்குவதாக எடுத்துக் கொண்டால் ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும். அதாவது ஒரு பக்கத்தின் நீளம் பூச்சியமாக உள்ள நாற்கரமாக முக்கோணத்தைக் கொள்ளலாம்.

நிறுவல்[தொகு]

இப்பகுதியின் நிறுவலுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் வட்ட நாற்கரத்தின் படம்.

இப்பகுதியில் உள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ள வட்ட நாற்கரத்தின் அளவுகளுக்கான குறியீடுகள் பரப்பு காணும்போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வட்ட நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பு

= \triangle ADB -ன் பரப்பு+ \triangle BDC -ன் பரப்பு
= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.

ABCD, ஒரு வட்ட நாற்கரம் என்பதால்:

\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB.
\sin A = \sin C\,
\mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A
(\mbox{Area}) = \frac{1}{2}\sin A (pq + rs)
(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2
4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 = (pq + rs)^2 - \cos^2 A (pq + rs)^2.\,

\triangleADB மற்றும் \triangle BDC, இரண்டின் பொதுப்பக்கம் DB-ன் மதிப்பைக் கொசைன் விதி மூலம் காண:

DB = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,
\cos C = \cos( \pi - A) = -\cos A\, (A, C மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்.)

இதனைப் பயன்படுத்த:

 p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2  +2rs\cos A. \,

உறுப்புகளை மாற்றித் தொகுக்க:

2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,
\cos A (pq + rs) = \frac{p^2 + q^2 - r^2 - s^2}{2}. \,

வர்க்கப்படுத்த:

\cos ^2A (pq + rs)^2 = \frac{(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2}{4}. \,

இதனைப் பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட:

4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2
16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \,
= (2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2)(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2) \,
= ( (r+s)^2 - (p-q)^2 )( (p+q)^2 - (r-s)^2 ) \,
= (q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s). \,

S = \frac{p+q+r+s}{2}, என எடுத்துக் கொண்டால்

16(\mbox{Area})^2 = 16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \,
(\mbox{Area})^2 = (S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \,

வர்க்கமூலம் காண:

\mbox{Area} = \sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.

மாற்றுப் படிவம்[தொகு]

இவ்வாய்ப்பாட்டின் மற்றொரு படிவம்:

K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}\cdot

நிறுவல்[தொகு]

பரப்பு காணும் வாய்பாடின் பொதுப் படிவம்:

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
s-a= \frac{-a+b+c+d}{2}
s-b= \frac{a-b+c+d}{2}
s-c= \frac{a+b-c+d}{2}
s-d= \frac{a+b+c-d}{2} இம்மதிப்புகளைப் பரப்பு வாய்பாடில் பிரதியிட:
K=\sqrt{(\frac{-a+b+c+d}{2})(\frac{a-b+c+d}{2})(\frac{a+b-c+d}{2})(\frac{a+b+c-d}{2})}
=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
=\frac{1}{4}\sqrt{[(c+d)-(a-b)][(c+d)+(a-b)][(a+b)-(c-d)][(a+b)+(c-d)]}
=\frac{1}{4}\sqrt{[(c+d)^2-(a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]}
=\frac{1}{4}\sqrt{[(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab+2cd][(a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd]}
=\frac{1}{4}\sqrt{[(2ab+2cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)][(2ab+2cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]}
=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}
=\frac{1}{4}\sqrt{[(4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd)-(a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2b^2-2a^2c^2-2a^2d^2-2b^2c^2-2b^2d^2+2c^2d^2)}
=\frac{1}{4}\sqrt{(2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+2c^2d^2)+8abcd-(a^4+b^4+c^4+d^4)}
=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-(a^4+b^4+c^4+d^4)+8abcd-(a^4+b^4+c^4+d^4)}
=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}


வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களுக்கு நீட்டிப்பு[தொகு]

வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களின் பரப்பு காண்பதற்கு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். இதற்கு நாற்கரங்களின் எதிர்க் கோணங்களின் அளவுகளைக் கருத்தில் கொள்ளல் வேண்டும்.

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta} இது பிரெட்ஷ்னீடரின் வாய்ப்பாடாகும்.

இங்கு θ, நாற்கரத்தின் ஏதேனும் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதி. இரண்டு சோடி எதிர்க் கோணங்களில் எந்த சோடியை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஏனெனில் மற்றொரு சோடி எதிர்க்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதியானது, (180- θ) -ஆக இருக்கும். cos(180° − θ) = −cosθ, cos2(180° − θ) = cos2θ.

தரப்பட்ட பக்க நீளங்களைக் கொண்ட நாற்கரங்களிலேயே வட்ட நாற்கரங்கள் தான் மீப்பெரு பரப்புடையவை.

பொது நாற்கரங்களின் பரப்பு வாய்ப்பாட்டிலிருந்து வட்ட நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பெறுதல்:

வட்ட நாற்கரங்களின் பண்பின்படி அதன் எதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் கூடுதல் 180°, இக்கூடுதலின் பாதியளவு 90°

abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0, \,

எனவே பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் இதைப் பிரதியிட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கிறது:

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

ஜூலியன் கூலிட்ஜ் -ஆல் நிறுவப்பட்ட பொதுக் குவிவு நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:[1]

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,

இங்கு p மற்றும் q -நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்.

டாலமியின் தேற்றப்படி, ஒரு வட்ட நாற்கரத்திற்கு, pq=ac+bd -ஆக இருக்கும். இம்மதிப்பைப் பிரதியிட கூலிட்ஜின் வாய்ப்பாடு, பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடாக மாறும்.

தொடர்புள்ள பிற தேற்றங்கள்[தொகு]

  • முக்கோணங்களின் பரப்பு காணும் ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு - நாற்கரத்தின் பக்க நீளம் d = 0 எனக் கொள்வதால் கிடைக்கும் சிறப்பு வகை.
  • பிரம்மகுப்தரின் பொது வாய்ப்பாட்டிற்கும் நீட்டிக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டிற்கும் உள்ள தொடர்பு, கொசைன் விதியானது பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின் நீட்டிப்பாக அமைதலுக்குச் சமமானது.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.

This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.