கோளவுரு

தட்டைக் கோளவுரு	நெட்டைக் கோளவுரு

வடிவவியலில் கோளவுரு(spheroid) அல்லது நீளுருண்டை அல்லது நீள்வட்ட சுழற்சிவடிவம்(ellipsoid of revolution) என்பது ஒரு நீள்வட்டத்தை அதன் பேரச்சு அல்லது சிற்றச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதால் கிடைக்கும் இருபடிப் பரப்பாகும். இரு சமமான அரைவிட்டங்கள் கொண்ட நீள்வட்டத்திண்மமாகவும் கோளவுருவைக் கருதலாம்.

நீள்வட்டமானது அதன் பேரச்சைப் பொறுத்து சுழலும்போது கிடைக்கும் கோளவுரு நெட்டைக் கோளவுரு எனப்படும். இது ரக்பி கால்பந்தாட்டத்தில் பயன்படுத்தப்படும் பந்தைப் போன்று இருக்கும். சிற்றச்சைப் பொறுத்துச் சுழலும் போது கிடைக்கும் கோளவுரு தட்டைக் கோளவுரு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. நீள்வட்டத்திற்குப் பதில் வட்டம் சுழல்வதால் கிடைக்கும் திண்மம் கோளமாகும்.

பூமியின் சுழற்சி மற்றும் அதன் ஈர்ப்பு சக்தியால் அதன் வடிவம் கிட்டத்தட்ட கோளவுருவாக (அச்சுகளில் சிறிதளவு தட்டையாக்கப்பட்ட) இருக்கிறது. இதனால்தான் நிலப்பட வரைவியலில் பூமியின் வடிவமானது கோளமாக இல்லாமல், தட்டையான கோளவுருவாக தோராயமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. தற்போதைய உலக புவிக்கோளுரு முறையில்(World Geodetic System) பூமியானது, நிலநடுக்கோட்டில் 6,378.137 கிமீ மற்றும் துருவங்களில் 6,356.752 கிமீ ஆரங்களுடைய (தோராயமாக) கோளவுருவாகக் கருதப்படுகிறது.

சமன்பாடு

மையம், "y" ஆதியிலும் z -அச்சைப் பொறுத்து சுழற்சியும் உடைய கோளவுருவின் சமன்பாடு:

$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{a}\right)^2+\left(\frac{z}{b}\right)^2 = 1\quad\quad\hbox{ or }\quad\quad\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$

இங்கு a –நடுக்கோட்டில், கிடைநிலையான குறுக்கு ஆரம்; b -செங்குத்தான துணை ஆரம் ஆகும்.

மேற்பரப்பு

நெட்டைக் கோளவுருவின் மேற்பரப்பு

$2\pi\left(a^2+\frac{a b \alpha}{\sin(\alpha)}\right)$

இங்கு $\alpha=\arccos\left(\frac{a}{b}\right)$, நெட்டைக் கோளவுருவின் கோண மையதொலைத்தகவு; $e=\sin(\alpha)$, சாதாரண மையதொலைத்தகவு

தட்டைக் கோளவுருவின் மேற்பரப்பு

$2\pi\left[a^2+\frac{b^2}{\sin(\alpha)} \ln\left(\frac{1+ \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)\right]$

இங்கு $\alpha=\arccos\left(\frac{b}{a}\right)$, தட்டைக் கோளவுருவின் கோண மையதொலைத்தகவு.

கன அளவு

கோளவுருவின்(இரண்டு வகையும்) கனஅளவு:

$\frac{4}{3}\pi a^2b \approx 4.19\, a^2b$.

A=2a என்பது நடுக்கோட்டு விட்டமாகவும் B=2b என்பது துருவ விட்டமாகவும் இருந்தால் கனஅளவு:

$\frac{1}{6}\pi A^2B \approx 0.523\, A^2B$.

வளைவு

கோளத்தைத் துணையலகுகளில் எடுத்துக் கொண்டால்:

$\vec \sigma (\beta,\lambda) = (a \cos \beta \cos \lambda, a \cos \beta \sin \lambda, b \sin \beta);\,\!$

இங்கு $\beta\,\!$ அகலாங்கையும் $\lambda\,\!$ நெட்டாங்கையும் குறிக்கும்.

மேலும்:

$-\frac{\pi}{2}<\beta<+\frac{\pi}{2}\,\!$

$-\pi<\lambda<+\pi\,\!$, எனில்,

கோளவுருவின் காசியன் வளைவு(Gaussian curvature):

$K(\beta,\lambda) = {b^2 \over (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^2};\,\!$

சராசரி வளைவு:(mean curvature)

$H(\beta,\lambda) = {b (2 a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta) \over 2 a (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^{3/2}}.\,\!$

இரு வளைவுகளும் நேர்ம மதிப்பாக இருக்கும். எனவே கோளவுருவின் மேல் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் நீள்வட்டப்புள்ளியாக இருக்கும்.

வெளி இணைப்புகள்

• Calculator: surface area of oblate spheroid
• Calculator: surface area of prolate spheroid