சுழிவு (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஒரு செயலியின் சுழிவு அல்லது சுழிவெளி (Null space) என்பது அச்செயலி வழியாக சூனியத்திற்கு எடுத்துச்செல்லப்படும் எல்லா உறுப்புகளின் கணமாகும். இதை உட்கரு (kernel) என்றும் சொல்வதுண்டு.

செயலி ஒரு நேரியல் செயலியாக இருக்கும் பட்சத்தில்,சுழிவெளி ஒரு திசையன் வெளியின் உள்வெளியாக இருக்கும். சுழிவெளியை சூனியத்திசையன்வெளியுடன் குழப்பிக்கொள்ளக்கூடாது. சூனியத் திசையன் வெளி என்பது சூனியத் திசையன் ஒன்றை மட்டும் கொண்ட ஒரு வெளி. சுழிவெளி எப்பொழுதும் சூனியத்தையும் உள்ளடக்கி இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $f(x, y) = x - y$. இங்கு $x$, $y$ இரண்டும் மெய்யெண்கள்.

இது ஒரு நேரியல் கோப்பு.

இதனுடைய சுழிவு = { $(x,x$) | $x$ ஒரு மெய்யெண் }.

இது ஒரு நேர்கோடு $y = x$

• ஒரு நேரியல் வெளியில் $x_0$ என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனை எடுத்துக்கொள்வோம்.

$f: x \rightarrow x \centerdot x_0$

இது ஒரு நேரியல் கோப்பு. இதனுடைய சுழிவெளி $x_0$ க்கு செங்குத்தாக உள்ள எல்லா திசையன்களின் கணம்.

சுழிவெளியும் உள்ளிடுகோப்பும்

$X$ ம் $Y$ ம் திசையன்வெளிகள். $A: X \rightarrow Y$ ஒரு நேரியல் கோப்பு. $A$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால்தான்,$A$ யின் சுழிவெளி சூனியத்திசையன்வெளியாக இருக்கும்.

அணிச்செயலியின் சுழிவெளி

A என்ற மெய்யெண் அணியை ஒரு $\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ நேரியல் செயலியாகக்கொள்ளலாம். அதனுடைய சுழிவெளிக்கு $A$ யின் சுழிவு (Null Space) எனப் பெயர். இது $\mathbf{R}$ இன் ஒரு உள்வெளி. இதனுடைய பரிமாணம் $A$ யின்சுழிவளவை (Nullity) எனப் பெயர் பெறும்.

இதைக்கணிப்பதற்கு சுருக்கமான வழி: A யின் குறுவரிசைப்படியைக் (row-reduced echelon form) கணிக்கவும். அதனில் படிகளில்லா நிரல்களின் எண்ணிக்கை தான் சுழிவளவை.

வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்: ஒரு அணியின் அளவையையும் அதன் சுழிவளவையும் கூட்டினால் வரும் எண்ணிக்கை அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையே.

அணியின் சுழிவுக்கணிப்பு

$A=\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 12 & 2 & 8 & 0 & 2\end{bmatrix}. \!\,$

இதனுடைய குறுவரிசைப்படி:

$E=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}. \!\,$

$Av = 0 \Longleftrightarrow Ev = 0$

$v = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T$ என்று கொண்டால், $x_1 = 0, x_2 = -4x_4 + 3x_5, x_3 = x_4 - x_5$

இந்த எல்லா $v$-திசையன்களும் சேர்ந்ததுதான் $A$ யின் சுழிவு. அது இரு பரிமாணமுள்ளது.இந்த சுழிவெளியின் அடுக்களம்

{$(0,-4,1,1,0)^T, (0,3,-1,0,1)^T$}.

அ-து, A யின் சுழிவெளி = $[(0,-4,1,1,0)^T, (0,3,-1,0,1)^T]$

நேரியல் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு

$n$ மாறிகளில் $m$ நேரியல் ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகள் இருந்தால் அந்தத்திட்டத்தை $Ax = v$ என்ற அணிச் சமன்பாடாக எழுதலாம்.

$Ax = v.$ இதனுடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு $u_0$ என்றும், A யினுடைய சுழிவெளி U என்றும் கொள்வோம். அப்பொழுது, $u_0 + U$ எல்லா தீர்வுகளையும் கொடுக்கும். ஏனென்றால்,

முதலில், $w \in u_0 + U$ என்று கொள். அ-து, $w = u_0 + u$, இங்கு $u \in U.$

$\therefore Aw = A(u_0) + A(u) = v + 0 = v$

இரண்டாவதாக, $Aw = v$ ஆக இருக்கும்படி ஒரு $w$ இருந்தால், $w = (w - u_0) + u_0$ . இதனால்,$w - u_0 \in U$; ஏனென்றால்,$A(w - u_0) = Aw - Au_0 = 0$. ஆக, $w$ என்ற தீர்வு, $u_0 + U$ வில் உள்ளது.

துணைநூல்கள்

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.

• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9