சமானம், மாடுலோ n

மாடுலோ கணித ஆய்வுகளைப் பற்றி காஸ் வெளியிட்ட் நூலில் முதல் பதிப்பு. புத்தகத்தின் தலைப்பு டிஸ்க்விசிசனே அரித்மெட்டிக்கே என்பதாகும்.

கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், சமானம், மாடுலோ n (Congruence modulo n) என்பது சுழற்சி அடிப்படையில் எண்களைக் கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்னும் ஜெர்மானியக் கணிதப் பேரறிஞரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு

இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் சமான எண்கணிதம் (Congruence arithmetic).

கணிதத்தில் வரையறை

$a, b, n$ முழு எண்களானால் $a$ யும் $b$ யும் $n$ மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்:

• $a - b,$ எண் $n$ இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)

இதற்குக்குறியீடு:

$a \equiv b$ (mod $n$)

இதன் உச்சரிப்பு:

$a$ சமானம் $b$, மாடுலோ $n$

இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.

உடன்விளைவு

'சமானம் மாடுலோ $n$' ஒரு சமான உறவு. ஏனென்றால்,

• அது ஒரு எதிர்வு உறவு. அதாவது, $a \equiv a$ (mod $n$)

• அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, $a \equiv b$ (mod $n$) $\Rightarrow b \equiv a$ (mod $n$)

• அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, $a \equiv b$ (mod $n$) மற்றும் $b \equiv c$ (mod $n$) $\Rightarrow a \equiv c$ (mod $n$)

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $17 \equiv 5$ (mod 12) ஏனென்றால், 17 - 5 = 12

• $365 \equiv 1$ (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

• $27 \equiv 0$(mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

• $100 \equiv 34$ (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

• $-13 \equiv 2$ (mod 5) ஏனென்றால் -13 -2 = -15; இது 5 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது

முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம்.

17 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் மீதி 5; அல்லது, 17ம் 5ம் 12 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன

365 ஐ 7 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1; அல்லது, 365ம் 1ம் 7ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

27 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0; அல்லது 27ம் 0வும் 3 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

100 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் 34 மீதி வராது. ஆனாலும், 100, 34 இரண்டும் 6 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

இந்த இரண்டாவது பண்பைக்கொண்டு சமானம் மாடுலோ n க்கு இப்படியும் இலக்கணம் வரையலாம்: n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் $a \equiv b$ (mod $n$) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்:

• $a$ யும் $b$ யும் $n$ ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும்.

எனினும் a, n ஆல் வகுபடும்போது b மீதமாக வராத பட்சத்தில், இந்தச் சமானத்தை கணினிப் பொறியாளர்கள்

$a \equiv b$ (modulo $n$) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக $100 \equiv 34$ (modulo 6)

மேலும், $a \equiv 0$ (mod $n$) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

எல்லாப்பட்சத்திலும் $a \equiv b$ (mod $n$) $\Longleftrightarrow \exists$ முழு எண் $q \ni a = nq + b$

மற்ற விளைவுகள்

• $a \equiv b$(mod $n$), மற்றும் $c \equiv d$(mod $n$) என்றால்

$a + c \equiv (b + d)$ (mod $n$)

$a - c \equiv (b-d)$ (mod $n$)

$k$ ஒரு முழு எண்ணானால், $ka \equiv kb$ (mod $n$)

$ac \equiv bd$ (mod $n$)

$m$ ஒரு நேர்ம முழு எண்ணானால், $a^m \equiv b^m$ (mod $n$)

இவ்விளைவுகளெல்லாம் சேர்ந்ததுதான் மாடுலோ எண் கணிதம் (modular arithmetic) எனப்படும்.