சமதொடு அச்சு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
இரு வெட்டிக்கொள்ளாத வட்டங்களின் (தடித்த கருப்பு) சமதொடு அச்சு சிவப்புக் கோடு. சமதொடு அச்சின் மீதுள்ள புள்ளியை (நீலம்) மையமாகவும் அப்புள்ளியிலிருந்து இரு வட்டங்களுக்கு வரையப்பட்ட சமதொடுகோட்டு நீளத்தை (நீல நிறக் கோடுகள்) ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்பட்ட வட்டம் (இடையிட்ட தோற்றம்) எடுத்துக்கொண்ட இரு வட்டங்களுக்குச் செங்குத்து வட்டமாக அமையும்.
இரு வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டங்களின் சமதொடு அச்சு வெட்டும் புள்ளிகளை இணைக்கும் பொது நாணாக அமையும் வெட்டுக்கோடாகும்.

இரு வட்டங்களுக்கு ஒரு புள்ளியிலிருந்து வரைப்படும் தொடுகோடுகள் சமநீளமுள்ளவையாக இருக்குமாறு இயங்கும் புள்ளியின் இயங்குவரை ஒரு நேர்கோடாக அமையும். இக்கோடு அவ்விருவட்டங்களின் சமதொடு அச்சு (radical axis) என அழைக்கப்படுகிறது. சமதொடு அச்சின் மீதமையும் எந்தவொரு புள்ளி P -ஐயும் மையமாகக் கொண்டு வரையப்படும் வட்டம் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு வட்டங்களையும் செங்குத்தாக வெட்டும். சமதொடு அச்சின் மீதமையும் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் இவ்வாறு அமையும் வட்டம் தனித்ததொன்றாகும். மறுதலையாக, இருவட்டங்களுக்கும் செங்குத்து வட்டமாக அமையும் வட்டத்தின் மையம் அவ்விருவட்டங்களின் சமதொடு அச்சின் மீதமையும். சமதொடு அச்சின் மீதுள்ள புள்ளியிலிருந்து இரு வட்டங்களுக்கும் வரையப்படும் தொடுகோடுகள் சமநீளமுடையவை என்பதால், சமதொடு அச்சின் மீதமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியின் படியும் அவ்விரு வட்டங்களைப் பொறுத்து சமம் எனலாம்.[1]


R^{2} = d_{1}^{2} - r_{1}^{2} = d_{2}^{2} - r_{2}^{2}

இங்கு,

r1, r2 -வட்டங்களின் ஆரங்கள்;
d1, d2 -புள்ளி P -க்கும் வட்டங்களின் மையங்களுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு;
R -P ஐ மையமாகக் கொண்ட செங்குத்து வட்டத்தின் ஆரம்.

சமதொடு அச்சு எப்பொழுதும் ஒரு நேர்கோடாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டிற்கு செங்குத்தாகவும் அமையும். வெட்டிக்கொள்ளாத வட்டங்களின் சமதொடு அச்சு இரண்டில் பெரியதாகவுள்ள வட்டத்திற்கு அருகில் இருக்கும். இரண்டு வட்டங்களும் வெட்டும் வட்டங்கள் எனில் சமதொடு அச்சு அவை வெட்டும் புள்ளிகளின் வழியே செல்லும். இரண்டு வட்டங்களும் தொடுவட்டங்கள் எனில் சமதொடு அச்சு அவ்வட்டங்களுக்குப் பொதுத் தொடுகோடாக இருக்கும். ஒரே கோட்டின் மீதமைந்த மையங்களையும், ஒரே கோட்டை சமதொடு அச்சாகவும் கொண்ட வட்டங்கள் அனைத்தும் பொதுஅச்சு வட்டங்களின் கற்றை எனப்படும்.

சமதொடு மையம்[தொகு]

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று வட்டங்களின் (கருப்பு) சமதொடு அச்சுகள் (நீலம்) சந்திக்கும் புள்ளி சமதொடு மையத்தை (ஆரஞ்சு) மையமாகக் கொண்டு வரையப்பட்ட தனித்ததொரு வட்டம் (ஆரஞ்சு) முதல் மூன்று வட்டங்களுக்கு செங்குத்து வட்டம்.

எந்த இரண்டும் பொதுமைய வட்டங்களாக இல்லாத மூன்று வட்டங்கள் A, B , C .

இம்மூன்று வட்டங்களில் இரண்டிரண்டு வட்டங்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றின் சமதொடு அச்சுகள் காண, அம்மூன்று அச்சுகளும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் அல்லது இணையாக இருக்கலாம். சந்திக்கும் புள்ளி மூன்று வட்டங்களின் சமதொடு மையம் எனப்படும். மூன்று சமதொடு அச்சுகளும் இணையாக இருந்தால் அவை முடிவிலியில் சந்திக்கும். [2]

இம்மூன்று வட்டங்களின் சமதொடு அச்சுகள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் என்பதை எளிதாக விளக்கலாம்[3]:

மூன்று வட்டங்களில் இரண்டிரண்டாக எடுத்துக் கொண்டு சமதொடு அச்சுகளைக் காண, ஒவ்வொரு சோடி வட்டத்தின் சமதொடு அச்சிலிருந்தும் அவ்வட்டங்களுக்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் சமநீளமுள்ளவையாக இருக்கும். எனவே கடப்பு உறவின் படி (transitive relation) மூன்றுவட்டங்களுக்கும் வரையப்படும் தொடுகோடுகள் மூன்றும் சமநீளமுள்ளவையாக உள்ளவாறு, மூன்று சமதொடு அச்சுகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளி இருக்கும். இப்பொதுப் புள்ளியே சமதொடு மையமாகும்.

சமதொடு மையத்தை மையமாகவும் சமதொடுகோட்டு நீளத்தை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டம் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று வட்டங்களுக்கும் செங்குத்து வட்டமாக இருக்கும். அவ்வாறு அமையக்கூடிய வட்டம் தனித்ததொன்றாகும். மேலும் அது தரப்பட்ட மூன்று வட்டங்களின் சமதொடு வட்டம் என்றழைக்கப்படும்.

வரைதல்[தொகு]

சமதொடு அச்சு வரைதல்
  • எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு வட்டங்களின் மையங்களை (B , V) இணைக்கும் கோட்டிற்கு (நீலம்), சமதொடு அச்சு (சிவப்பு) செங்குத்தாக இருக்கும். இவ்விரண்டு கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளி K.
  • K இலிருந்து B , V -க்குள்ள தொலைவு x1 , x2.
  • B , V -க்கு இடையேயுள்ள தொலைவு x1+x2 = D.
  • சமதொடு அச்சின் மீதமையும் ஒரு புள்ளி J -க்கும் B , V -க்கும் இடையேயுள்ள தொலைவுகள் முறையே d1, d2.
  • இரு வட்டங்களின் ஆரங்கள், r1, r2
  • J , K -க்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு L.

J , சமதொடு அச்சின் மீதுள்ளதால் இரு வட்டங்களைப் பொறுத்த அதன் படி சமமாகும்:

d_{1}^{2} - r_{1}^{2} = d_{2}^{2} - r_{2}^{2}

பித்தாகரசு தேற்றப்படி,

d_{1}^{2} =L^{2} + x_{1}^{2}
d_{2}^{2} =L^{2} + x_{2}^{2}

d1, d2 மதிப்புகளைப் பிரதியிட,

\Rightarrow
L^{2} + x_{1}^{2}  - r_{1}^{2} = L^{2} + x_{2}^{2}  - r_{2}^{2}
\Rightarrow
x_{1}^{2}  - x_{2}^{2} = r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}

இருபுறமும் D = x1+x2 ஆல் வகுக்க,

\Rightarrow
x_{1}  - x_{2} = \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D}

இதனுடன்  x_{1}+x_{2} = D சமன்பாட்டைக் கூட்ட,

\Rightarrow
2x_{1} = D + \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D} மதிப்பும், கழிக்க,
\Rightarrow
2x_{2} = D - \frac{r_{1}^{2}  - r_{2}^{2}}{D} மதிப்பும் கிடைக்கிறது.

x1 அல்லது x2 இன் மதிப்பைக் கொண்டு வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் மீது புள்ளி K ஐக் குறித்துக் கொண்டு அதன் வழியே மையங்களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டிற்கு செங்குத்து வரைய அச்செங்குத்துக் கோடு எடுத்துக்கொண்ட இரு வட்டங்களின் சமதொடு அச்சாகும்.

முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில் சமதொடு மையம்[தொகு]

வட்டங்கள் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில் தரப்பட்டிருந்தால் சமதொடு மையம் அணிக்கோவை வடிவில் தரப்படுகிறது.

X = x : y : z என்பது முக்கோணம் ABC இன் தளத்திலமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி. முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள், a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|.

வட்டங்கள் பின்வருமாறு தரப்படுகின்றன:

(dx + ey + fz)(ax + by + cz) + g(ayz + bzx + cxy) = 0
(hx + iy + jz)(ax + by + cz) + k(ayz + bzx + cxy) = 0
(lx + my + nz)(ax + by + cz) + p(ayz + bzx + cxy) = 0

இப்பொழுது சமதொடு மையம் அணிக்கோவையாக:

 \det \begin{bmatrix}g&k&p\\
e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix} : \det \begin{bmatrix}g&k&p\\
f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix} : \det \begin{bmatrix}g&k&p\\
d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Johnson (1960), pp. 31–32.
  2. Johnson (1960), pp. 32–33.
  3. Johnson (1960), p. 32.

ஆதாரங்கள்[தொகு]

  • Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reprint of 1929 edition by Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. பக். 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0. 

மேலும் தெரிந்துகொள்ள[தொகு]

  • Ogilvy CS (1990). Excursions in Geometry. Dover. பக். 17–23. ISBN 0-486-26530-7. 
  • Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சமதொடு_அச்சு&oldid=1393714" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது