கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் கோடேன்ஜெண்ட் (cotangent) சார்பு என்பது ஒரு கோணத்தின் சார்பாகும். ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளுள் இதுவும் ஒன்று. இந்த ஆறு சார்புகளில் மூன்றாவதாக வரிசைப்படுத்தப்படும் டேன்ஜெண்ட் சார்பின் தலைகீழிச் சார்பு அதாவது டேன்ஜெண்ட்-ன் தலைகீழி, கோடேன்ஜெண்ட் ஆகும்.

வரையறை[தொகு]

செங்கோண முக்கோணம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் A -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:

செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு  h. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.

  • எதிர்ப்பக்கம் (opposite):

நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் A -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம்  a.

  • அடுத்துள்ள பக்கம் (adjacent):

செங்கோணம் மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( A மற்றும் C) பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம்  b.

கோணம் A - கோடேன்ஜெண்ட்: cot(A)

\cot A = \frac {1}{\tan A} = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{opposite}} = \frac {b} {a}.

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் A கோணத்தைக் கொண்டதாய் அமைந்தால் போதும், அம்முக்கோணத்தின் அளவினை இவ்விகிதம் சார்ந்திருப்பதில்லை. ஏனென்றால் அவ்வாறு அமையும் செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்களாக அமையும். மேலும் வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்.

முடிவிலாத் தொடராக[தொகு]

கோடேன்ஜெண்ட் சார்பை முடிவிலாத் தொடராக பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:


\begin{align}
\cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi.
\end{align}
Bn: n -ஆம் பெர்னெளலியின் எண்.

முற்றொருமைகள்[தொகு]

\theta -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் முற்றொருமைகள் மெய்யாகும்:

  • \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
  • \cot\theta = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)
  • 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!
  • பிற ஐந்து முக்கோணவியல் சார்புகள் வாயிலாக:

   \cot \theta \!

= \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\!
= \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!
=    \frac{1}{\tan \theta}\!
= \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\!
= \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!

நேர்மாறு[தொகு]

arctan(x) (சிவப்பு) மற்றும் arccot(x) (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில்.

கோடேன்ஜெண்ட் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:

arccot அல்லது (cot−1).
\theta = \arccot\left( \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} \right) = \cot^{-1} \left( \frac {b} {a} \right).

k, ஏதேனும் ஒரு முழு எண் எனில்:

\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccot(x) + k\pi