கூட்டுத் தொடர்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், கூட்டுத் தொடர் அல்லது எண்கணிதத் தொடர் என்பது அடுத்தடுத்து வரும் எந்த இரு எண்களுக்கு இடையே ஓரே ஓர் எண் வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைந்த, வரிசையாக வரும் எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக 3, 5, 7, 9, 11, 13, … என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர், ஏனெனில் அடுத்தடுத்து வரும் எந்த இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு இங்கே 2. அதாவது, இத்தொடரை 3, 3+2, (3+2)+2,... என்று எழுதலாம்; அடுத்தடுத்து, ஒரு வரிசையில் வரும் எண்களை அறிய, ஓர் உறுப்பின் முன்னுள்ள எண்ணுடன் 2 ஐச் சேர்த்தால் கிட்டும். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் எந்த இரண்டு எண்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு பொது வேறுபாடு எனப்படும்.

கூட்டுத்தொடரில் வரும் முதல் எண் a_1 என்றும், பொது வேறுபாடு d என்றும் கொண்டால், வரிசையில் n-ஆவது உறுப்பு என்ன என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

\ a_n = a_1 + (n - 1)d,

இதையே, இன்னும் பொதுமைப் படுத்தி,

\ a_n = a_m + (n - m)d.

எனலாம். இந்தக் கூட்டுத் தொடர் முடிவிலியாய்ப் போகலாம் எனினும், வரம்புடைய எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கூட்டுத்தொடரை, வரம்புள கூட்டுத் தொடர் என்று அழைப்பர் அல்லது பொதுவான சொல்லான கூட்டுத்தொடர் என்றும் அழைப்பர்.

ஒரு கூட்டுத்தொடர் எப்படி வளர்கின்றது என்பது, அதன் பொதுவேறுபாட்டு எண்ணைப் பொருத்துள்ளது. பொதுவேறுபாட்டு எண்ணானது,

  • நேர்ம எண்ணாக இருந்தால், அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகள் பெருகிக்கொண்டே போய் முடிவிலிக்குப் போகும்;
  • எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால், எதிர்திசையில் பெருகிக்கொண்டே போய் எதிர்ம முடிவிலிக்குப் போகும்.

கூட்டுத் தொடரின், கூட்டுத்தொகை[தொகு]

ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளைக் கூட்டினால், அதன் கூட்டல் மதிப்பு அல்லது கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதைக் கணிக்கலாம். ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை  S_n எனக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், இந்தக் கூட்டுத்தொகையை இருவேறு விதமாக எழுதலாம் (இப்படி இருவேறு விதமாகக் கணக்கிடும் முறை, நிறுவலுக்குப் பயன்படும் ஒரு தனி முறையாகவும் கொள்ளப்படுகின்றது):

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

மேலே உள்ளதில், முதல் தொடரானது a_1 ஓடு d, 2d, 3d என்று படிப்படியாகக் கூட்டிக்கொண்டே போவது, ஆனால் இரண்டாவது தொடரானது, கடைசி உறுப்பாகிய a_n இல் இருந்து (n-1)d, (n-2)d என்று படிப்படியாக கழித்துக்கொண்டே செல்வது. இப்படியாக மேலே உள்ளவாறு இருவேறு விதமாக எழுதப்பட்ட இரண்டு கூட்டுத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால், பொதுவேறுபாடான d ஒன்றோடு ஒன்று கழிபட்டுப் போகின்றது:

\ 2S_n=n(a_1+a_n).

சமன்பாட்டின் இருபுறத்தையும் இரண்டால் வகுத்தால், கூட்டுத்தொகையை அடையலாம்:

 S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).

இன்னொரு மாற்று வடிவத்தைப் பெற, மீண்டும் a_n = a_1 + (n-1)d என்பதை உள்ளே நுழைக்கலாம்:

 S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].

499 கி.பி யில் இந்திய வானியல், கணித வல்லுநர் ஆரியபட்டா என்பவர் தன்னுடைய ஆரியபாட்டியா என்னும் நூலில் இம்முறையைத் தந்துள்ளார். (section 2.18) .[1]

எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டுத்தொடர் ஒன்றை an = 3 + (n-1)(5) எனக் குறித்தால், இதன் 50 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை:

S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.

கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை[தொகு]

ஒரு வரம்புள கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி a1 என்றும், பொதுவேறுபாடு d என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

மேலுள்ளவற்றில், x^{\overline{n}} என்பது போக்காமர் குறியீட்டில் காட்டப்படும் இயல் தொடர்பெருக்கம் (rising factorial in Pochhammer symbol), அடுத்து \Gamma என்ப்பது காமா சார்பியம். (இந்த வாய்பாடு a_1/d என்பது எதிர்ப எண்ணாகவோ சுழியாகவோ இருந்தால் செல்லாது என்பதையும் குறிப்பிட வேண்டும்).

இது ஓர் உண்மையைப் பொதுமைப் படுத்தும் முறையால் வருவது: தொடரின் பெருக்குத்தொகை 1 \times 2 \times \cdots \times n என்பது தொடர்பெருக்கம் (factorial) n!, அதன் பின் m மற்றும் n என்னும் நேர்ம இயல் எண் கூட்டுத்தொடரின் பெருக்கம்:

m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!
\frac{n!}{(m-1)!}.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டைக் கொண்டால், n ஆவது உறுப்பை an = 3 + (n-1)(5) எனக்கொண்டால் 50 ஆவது உறுப்புவரை பெருக்கினால்

P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98}

இப்பொழுது கூட்டுத்தொடர் ஒன்றைக் கருதுக:

a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)

இதில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை

a(a+d)(a+2d) =(a^{2}+ad)(a+2d) =a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}

இது கீழ்க்காணும் வடிவில் உள்ளது:

 a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}

ஆகவே, n உறுக்குகளின் இன் பெருக்குத்தொகை:

 a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1} இதற்குத் முடிவுதரும் தீர்வுகள் இல்லை.


உசாத்துணை[தொகு]

  1. Aryabhatiya மராட்டி: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.95, ISBN 978-81-7434-480-9
  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. பக். 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

மேலும் படிக்க[தொகு]

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=கூட்டுத்_தொடர்&oldid=1385278" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது