குழிவுச் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் குழிவுச் சார்பு (concave function) என்பது குவிவுச் சார்பின் கூட்டல் நேர்மாறுச் சார்பு அதாவது எதிர்ச் சார்பு ஆகும். குழிவுச் சார்பை, கீழ்நோக்கு குழிவுச் சார்பு அல்லது மேல்நோக்கு குவிவுச் சார்பு என்றும் அழைக்கலாம்.

வரையறை[தொகு]

ஒரு திசையன் வெளியிலமைந்த குவிவுக் கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு f : XR கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குழிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும்.

x_1,  x_2 என்பவை X இன் இரு புள்ளிகள்; t\in[0,1] எனில்:

f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).
திட்டமாக குழிவுச் சார்பு
f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,

 0 < t < 1\, , x_1 \not=x_2 எனில் சார்பு, திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு (strictly concave) என வரையறுக்கப்படும்.

f:RR என்பது ஒரு குழிவுச் சார்பு எனில் அதன் ஆட்களத்தின் x மற்றும் y இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு z க்கும் (z, f(z) ) புள்ளியானது (x, f(x) ) , (y, f(y) ) ஆகிய இருபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டிற்கு மேற்புறத்தில் அமையும்.

பண்புகள்[தொகு]

ஒரு குவிவுக் கணத்தின் மீது −f(x) குவிவுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த குவிவுக் கணத்தின் மீது f(x) குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்.

ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் வகைக்கெழு f ′ அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். குழிவுச் சார்பு, குறையும் சாய்வு கொண்டிருக்கும்.

இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x), எதிரிலா மதிப்பாக இருப்பின் தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேரிலா மதிப்பாக இருப்பின் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.


இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு f, இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு f ′′(x) இன் மதிப்பு நேரிலா மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே f(x) குழிவுச் சார்பாகவும், இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர்மதிப்பாக இருப்பின் திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல.

f வகையிடத்தக்கதாகவும் குழிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால்:

f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x][1]

C இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு, C இலுள்ள ஏதேனும் இரு மதிப்புகள் x மற்றும் y க்குக் கீழ்க்காணுமாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்:

f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • f(x)=-x^2, மற்றும் f(x)=\sqrt{x} ஆகிய இரு சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கெழுக்களும் எதிர் மதிப்புடையவை என்பதால் அவை இரண்டும் குழிவுச் சார்புகளாகும்.
  • நேரியல் சார்பு f(x)=ax+b, குழிவு மற்றும் குவிவுச் சார்பாக இருக்கிறது.
  • [0, \pi] இடைவெளியில் f(x)=\sin(x) குழிவுச் சார்பு.
  • \log |B| சார்பு ஒரு குழிவுச் சார்பு. இங்கு |B| ஆனது எதிரிலா-உறுதியான அணி (nonnegative-definite matrix) B இன் அணிக்கோவை.[2]

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Varian 1992, p. 489.
  2. Thomas M. Cover and J. A. Thomas (1988). "Determinant inequalities via information theory". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 9 (3): 384–392. 

மேற்கோள்கள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=குழிவுச்_சார்பு&oldid=1542701" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது