நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு

மூன்று மாறிகள் கொண்ட ஒருபடியச் சமன்பாடுகள் மூன்றின் வரைபடங்கள் மூன்று சமதளங்கள். அச்சமதளங்கள் ஒன்றை ஒன்று வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி, இச்சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும்

கணிதத்தில், ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதி அல்லது நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுதி (system of linear equations) என்பது, மாறிகளையும் மாறிகளின் எண்ணிக்கையையும் சமமாகக் கொண்ட ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக,

$\begin{alignat}{7} 3x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 & \\ 2x &&\; - \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\ -x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 & \end{alignat}$

என்பன $x$, $y$, $z$ என்னும் மூன்று மாறிகளால் ஆன மூன்று ஒருபடியச் சமன்பாடுகள். இந்த மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யும் மூன்று மாறிகளின் மதிப்புகள் இச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் ஒரு தீர்வு எனப்படும்.

மேற்கண்ட ஒருங்கமை சமன்பாடுகளின் ஒரு தீர்வு:

$\begin{alignat}{2} x & = & 1 \\ y & = & -2 \\ z & = & -2 \end{alignat}$

இம்மதிப்புகள் மேற்கண்ட மூன்று சமன்பாடுகளையும் நிறைவு செய்கின்றன. .

கணிதத்தில் ஒருபடிய அமைப்புகள் அல்லது ஒருங்கியங்கள், என்பன தற்காலக் கணிதத்தின் அடிப்படைத் துறைகளில் ஒன்றான நேரியல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும்.

எளிய எடுத்துக்காட்டு

நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுதிகளில் எளியவை இரு மாறிகளில் அமைந்த இரண்டு சமன்பாடுகள்:

$\begin{alignat}{5} 2x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 6 & \\ 4x &&\; + \;&& 9y &&\; = \;&& 15&. \end{alignat}$

இத்தொகுதியின் தீர்வை பிரதியிடல் மற்றும் நீக்கல் ஆகிய இருமுறைகளில் காணலாம்.

பிரதியிடல் முறை:

முதலில், மேலே உள்ள முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து $x$ என்னும் மாறியை $y$ மாறி மூலமாக மாற்றிக் கொள்ள:

$x = 3 - \frac{3}{2}y.$

இப்பொழுது, x என்னும் மாறிக்கு மாற்றீடாக இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இதனை இடுக:

$4\left( 3 - \frac{3}{2}y \right) + 9y = 15.$

இது இப்பொழுது $y$ என்னும் ஒரேயொரு மாறியினால் ஆன ஒருபடிய சமன்பாடு, ஆகவே எளிதாகத் தீர்வைக் காணலாம்: $y = 1$.

இப்பொழுது $y$ -யின் இம்மதிப்பை $x$ ஐக் கணிக்கும் சமன்பாட்டில் இட்டால் $x = 3/2$ எனத் தீர்வு காணலாம். இதே முறையை பல மாறிகள் இருக்கும் ஒருங்கமை சமன்பாடுகளின் தொகுதிக்கும் பயன்படுத்தலாம்.

பொது வடிவம்

n மாறிகளில் அமைந்த m நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியின் பொது வடிவம்:

$\begin{alignat}{7} a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\ a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\ \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\ a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\ \end{alignat}$

இங்கு $x_1,\ x_2,...,x_n$ மாறிகள். $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ மாறிகளின் கெழுக்கள். $b_1,\ b_2,...,b_m$ மாறிலிகள். பெரும்பாலும் கெழுக்கள் மெய்யெண்களாகவோ அல்லது சிக்கலெண்களாகவோ இருக்கும். மேலே தரப்பட்ட சமன்பாடுகளைப் பின்வருமாறு வெக்டர் வடிவிலும் அணி வடிவிலும் எழுதலாம்.

வெக்டர் வடிவம்

$x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}$

அணி வடிவம்

$A\bold{x}=\bold{b}$

இதில், A ஒரு m×n அணி, x, n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நிரல் வெக்டர், b , m உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நிரல் வெக்டர்.

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \bold{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\quad \bold{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

தீர்வு கணம்

x − y = −1, 3x + y = 9 ஆகிய சமன்பாடுகளின் தீர்வு (2, 3) என்ற ஒரேயொரு புள்ளியாகும்.

ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியின் தீர்வு என்பது அத்தொகுதியில் உள்ள அனைத்துச் சமன்பாடுகளையும் நிறைவு செய்யும் வகையில் அமையும் x₁, x₂, ..., x_n என்ற மாறிகளின் மதிப்பாகும். அவ்வாறு அமையும் தீர்வுகளைக் கொண்ட கணம் அத்தொகுதியின் தீர்வுகணம் எனப்படும்.

ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதி, பின்வரும் மூன்று விதங்களுள் ஒன்றாக அமையும்:

1. முடிவிலாத் தீர்வுகளைக் கொண்டது.
2. ஒரேயொரு தனித்தீர்வு கொண்டது.
3. தீர்வே இல்லாதது.

தீர்வுகளை எழுதும் முறை

• முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட தீர்வுகள் இருந்தால் அத்தீர்வுகள் கணக்குறியீட்டுக்குள் தரப்படுகின்றன.

(எ-கா) தீர்வுகள் 2, 3, மற்றும் 4 எனில் தீர்வு கணம் $\{2,3,4\}$ ஆகும்.

• முடிவிலா எண்ணிக்கை கொண்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் கணக்குறியீட்டில் எழுதுவது எளிதல்ல. அதனால் சில மாறிகள், சார்பிலா மாறிகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. எனவே அவை எந்த மதிப்புகளையும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். மற்ற மாறிகளின் மதிப்புகள், சார்பிலா மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து அமையும்.

(எ-கா): $\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \end{alignat}$ இச்சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வுகளைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

$x=-7z-1\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;y=3z+2\text{.}$

இங்கு z சார்பிலா மாறி, x, y ன் மதிப்புகள், z ன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து அமையும். முதலில் z க்கு ஏதாவது ஒரு மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுத்துக் கொண்டு பின்பு அதைக்கொண்டு x , y ன் மதிப்புக்ளை கணக்கிடுவதன் மூலம் தீர்வுகணத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியைக் காணலாம். .

சார்பிலா மாறியை மாற்றி வேறொன்றாகத் தேர்ந்தெடுத்தால் தேர்வுகணத்தின் விளக்கம் மாறுபட்டுத் தோன்றும். ஆனால் எழுதப்பட்ட விளக்கம் வேறாக இருந்தாலும் முடிவாக தீர்வுகளில் எந்த மாற்றமும் இருக்காது. (எ-கா) மேலேயுள்ள அதே சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்குத் தீர்வுகளைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்.

$y=-\frac{3}{7}x + \frac{11}{7}\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;z=-\frac{1}{7}x-\frac{1}{7}\text{.}$

இங்கு x சார்பிலா மாறி, y, z சார்புடைய மாறிகள்.

வடிவவியல் விளக்கம்

• இரு மாறிகளில் (x மற்றும்y) அமைந்த சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் உள்ள ஒவ்வொரு ஒருபடியச் சமன்பாடும் xy தளத்தில் அமைந்த ஒரு கோட்டினைக் குறிக்கும். தொகுதியின் தீர்வுகணமானது அதிலுள்ள அனைத்துச் சமன்பாடுகளையும் நிறைவு செய்யும் மாறிகளின் மதிப்புகள் என்பதால் தீர்வு கணம்,

1. ஒரு கோடு (அல்லது)
2. ஒரேயொரு புள்ளி (அல்லது)
3. வெற்றுக்கணமாக இருக்கும்.

• மூன்று மாறிகளில் அமைந்த சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் ஒவ்வொரு ஒருபடியச் சமன்பாடும் முப்பரிமாண வெளியில் (three dimensional space) அமைந்த ஒரு தளத்தைக் குறிக்கும். இத்தளங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் பகுதியாக தீர்வு கணம் அமையும். எனவே தீர்வு கணம்:

1. ஒரு தளம், (அல்லது)
2. ஒரு கோடு (அல்லது)
3. வெற்றுக்கணமாகும்.

• n மாறிகளில் அமைந்த சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் ஒவ்வொரு ஒருபடியச் சமன்பாடும் n – பரிமாண வெளியில் அமைந்த ஒரு மீத்தளத்தைக் (hyper plane) குறிக்கும். இந்த மீத்தளங்கள் வெட்டும் பகுதியாக தீர்வுகணம் இருக்கும் என்பதால் தீர்வு கணம், ஏதாவதொரு பரிமாணத்தில் உள்ள ஃப்ளாட் (flat) ஆக அமையும்.

பொதுச் செயல்பாடு

மூன்று மாறிகளில் அமைந்த இரண்டு ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகணம், பொதுவாக ஒரு கோடாகும்.

பொதுவாக ஒரு சமன்பாடுகளின் தொகுதியின் செயல்பாடு அதிலுள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கும் மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைப் பொறுத்ததாகும்:

வழக்கமாக,

1. மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவான சமன்பாடுகளை உடைய தொகுதி முடிவிலா தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும்.
2. மாறிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமான சமன்பாடுகளை உடைய தொகுதி ஒரேயொரு தனித்த தீர்வினைக் கொண்டிருக்கும்.
3. மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமான சமன்பாடுகளை உடைய தொகுதிக்குத் தீர்வே கிடையாது.

இரு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் தொகுதிக்கு இந்த மூன்று வகையான முடிவுகளைப் பின்வரும் படங்களின் மூலம் விளக்கலாம்.

ஒரு சமன்பாடு	இரு சமன்பாடுகள்	மூன்று சமன்பாடுகள்

ஒரேயொரு சமன்பாடு மட்டுமுள்ள முதல் தொகுதியின் தீர்வுகள் முடிவிலாதவை. அவை நீல வண்ணக் கோட்டின் மீதுள்ள முடிவிலா எண்ணிக்கை கொண்ட புள்ளிகளாகும். இரு சமன்பாடுகள் கொண்ட இரண்டாவது தொகுதிக்கு ஒரேயொரு தனித்தீர்வு உள்ளது. அத்தீர்வு, இரு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியாகும். மூன்று சமன்பாடுகள் கொண்ட மூன்றாவது தொகுதிக்குத் தீர்வுகளே இல்லை. ஏனெனில் மூன்று கோடுகளுக்கும் பொதுவான புள்ளி இல்லை.

மேலுள்ள மூன்று படங்களும் பொதுவான விளக்கத்தைத் தருகின்றன. சில சமயங்களில் இவ்விளக்கங்களில் இருந்து மாறுபாடுகள் இருப்பதற்கும் வாய்ப்புண்டு.

1. சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் மாறிகளின் எண்ணிக்கையும் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இரண்டாக இருந்தாலும் தொகுதிக்குத் தீர்வுகளே இல்லாமலும் இருக்கலாம். அப்பொழுது சமன்பாடுகள் இரண்டும் குறிக்கும் கோடுகள் இணையாக இருக்கும்.
2. இரு மாறிகளில் அமைந்த மூன்று சமன்பாடுகளுக்கு ஒரேயொரு தனித்தீர்வு இருக்கலாம். அப்பொழுது அம்மூன்று சமன்பாடுகள் குறிக்கும் கோடுகள் மூன்றும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும்.

பண்புகள்

சார்பின்மை (Independence)

ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் உள்ள எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் மற்றதொரு சமன்பாட்டிலிருந்து அடிப்படைக் கணிதச் செயல்கள் மூலம் பெறமுடியாதெனில் அச்சமன்பாடுகள் சார்பின்மை கொண்டவையாகும். ஒவ்வொரு சார்பிலாச் சமன்பாடும் அதிலுள்ள மாறிகளைப் பற்றிய ஒவ்வொரு விவரத்தினைத் தரும். சார்பிலாச் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுதியிலிருந்து ஏதாவதொரு சமன்பாட்டை நீக்கினால் அத்தொகுதியின் தீர்வு கணத்தின் அளவெண் அதிகரித்து விடும்.

x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, 4x + 3y = 7 மூன்றும் சாரா சமன்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டாக,

• $3x+2y=6\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;6x+4y=12$ இவை இரண்டும் சார்பிலாச் சமன்பாடுகள் இல்லை. ஏனென்றால் முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்குவதால் இரண்டாம் சமன்பாட்டைப் பெறமுடியும். இவை சமானமான சமன்பாடுகளாகும்.

• $\begin{alignat}{5} x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& -1 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; = \;&& 8 & \\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 7 & \end{alignat}$

இவை மூன்றும் சார்பிலாச் சமன்பாடுகள் அல்ல. ஏனென்றால் முதல் இரு சமன்பாடுகளையும் கூட்ட மூன்றாவது சமன்பாடு கிடைக்கும். இம்மூன்று சமன்பாடுகளிலிருந்து ஏதாவது ஒரு சமன்பாட்டை நீக்கினாலும் இவற்றின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை மாறாது. இந்த மூன்று சமன்பாடுகளின் வரைபடம், ஒரே புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்ளும் மூன்று கோடுகளாகும்.

ஒருங்கிசைவு (Consistency)

3x + 2y = 6 , 3x + 2y = 12 இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒருங்கிசைவு இல்லாதவை.

ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியிலுள்ள சமன்பாடுகளுக்குப் பொதுத் தீர்வு இருந்தால் அவை ஒருங்கிசைவுள்ளவை எனவும் அவ்வாறு பொதுத்தீர்வு இல்லையெனில் ஒருங்கிசைவில்லாதவை எனவும் அழைக்கப்படும். ஒருங்கிசைவில்லாத சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு காண முயன்றால், 1 = 3 போன்ற முரண்பாடுகள் கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக,

$3x+2y=6\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;3x+2y=12$ இரண்டும் ஒருங்கிசைவு இல்லாதவை. இவை இரண்டிற்கும் பொதுத்தீர்வு இருப்பதாக எடுத்துக் கொண்டு முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து 3x+2y = 6 என்ற மதிப்பை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் பிரதியிட்டால் 6 = 12, என்ற முரண்பாடான கூற்றுதான் கிடைக்கும். எனவே இச்சமன்பாடுகளுக்குத் பொதுத்தீர்வு கிடையாது. இவற்றின் வரைபடம் இரு இணைகோடுகளாகும்.

மூன்று சமன்பாடுகள் கொண்ட ஒரு தொகுதியில் ஏதாவது இரு சமன்பாடுகள் ஒருங்கிசைவு உடையாதாக இருந்தாலும் அத்தொகுதி ஒருங்கிசைவு இல்லாததாக இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக,

$\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 & \\ 2x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 & \\ 3x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 3 & \end{alignat}$ ஆகிய மூன்றும் ஒருங்கிசைவு இல்லாத சமன்பாடுகள். ஏனென்றால் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளைக் கூட்டி மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்க, 0 = 1 என்ற முரண்பாடு கிடைக்கிறது. ஆனால் மூன்றில் எந்த இரு சமன்பாடுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அவை ஒருங்கிசைவு உள்ளனவையாக அமைகின்றன.

பொதுவாக, ஒரு ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியில் உள்ள சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்கள் சார்பிலாத்தன்மை இல்லாமலும் வலதுபுறமுள்ள மாறிலிகள் சார்பிலாத்தன்மையுடனும் இருந்தால் அத்தொகுதி ஒருங்கிசைவு இல்லாததாக இருக்கும். மாறாக சமன்பாடுகளின் இடதுபக்கங்கள் சார்பிலாத்தன்மையுடன் இருந்தால் ஒருங்கிசைவான தொகுதியாகவும் இருக்கும்.

சமானம் (Equivalence)

ஒரே மாறிகளில் அமைந்த இரண்டு ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதிகளில், இரண்டாவது தொகுதியில் உள்ள சமன்பாடுகளை முதல் தொகுதியில் உள்ள சமன்பாடுகளிலிருந்தோ அல்லது முதல் தொகுதியின் சமன்பாடுகளை இரண்டாவது தொகுதியின் சமன்பாடுகளிலிருந்தோ இயற்கணிதச் செயல்கள் மூலம் பெற முடிந்தால் அவை இரண்டும் சமானமான தொகுதிகள் எனப்படும். சமானமானத் தொகுதிகள் இரண்டும் அவற்றில் உள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பற்றி ஒரேவிதமான விவரங்களையே தரும். சமானமானத் தொகுதிகளின் தீர்வு கணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

தீர்வு காணல்

ஒருபடியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்ப்பதற்குப் பல வழிமுறைகள் உள்ளன.

நீக்கல் முறை

1. முதல் சமன்பாட்டில் ஏதாவதொரு மாறியின் மதிப்பை மற்ற மாறிகளின் மூலமாக கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
2. பின்பு அம்மதிப்பை மற்ற சமன்பாடுகளில் பிரதியிட வேண்டும். இதனால் எடுத்துக் கொண்ட தொகுதியை விட மாறிகளின் எண்ணிக்கையிலும் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையிலும் குறைந்த ஒரு புதிய தொகுதி கிடைக்கும்.
3. தொகுதி ஒரேயொரு சமன்பாடாக மாறும்வரை முதல் இரண்டு செயல்களைத் தொடர்ந்து செய்ய வேண்டும்.
4. இந்த ஒற்றைச் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் காண வேண்டும். பின்பு அம்மாறியின் மதிப்பை படி 2 லுள்ள சமன்பாட்டில் பிரதியிட இரண்டாவது மாறியின் மதிப்பைக் காணலாம். அடுத்து இந்த இரு மாறிகளின் மதிப்புகளையும் படி 1 ல் பிரதியிட்டு மூன்றாவது மாறியின் மதிப்பைக் காணலாம்.

(எ-கா):

$\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\ 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 & \end{alignat}$

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x ன் மதிப்பு x = 5 + 2z − 3y, இதனை மற்ற இரு சமன்பாடுகளிலும் பிரதியிடக் கிடைப்பது,

$\begin{alignat}{5} -4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\ -2y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& -2 & \end{alignat}$

இதில் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கும் y ன் மதிப்பு, y = 2 + 3z, இதை இரண்டாவதில் பிரதியிட கிடைப்பது, z = 2. இப்பொழுது,

$\begin{alignat}{7} x &&\; = \;&& 5 &&\; + \;&& 2z &&\; - \;&& 3y & \\ y &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 3z && && & \\ z &&\; = \;&& 2 && && && && & \end{alignat}$

z = 2 என இரண்டாவதில் பிரதியிட y = 8, எனக் கிடைக்கிறது. மேலும் z = 2, y = 8 என முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட x = −15எனக் கிடைக்கிறது.எனவே தீர்வுகணம், (x, y, z) = (−15, 8, 2) என்ற ஒற்றைப் புள்ளியாகும்.

நிரைக் குறைப்பு முறை

முதலில் சமன்பாட்டுத் தொகுதியை விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணிவடிவில் (augmented matrix) எழுதிக் கொள்ள வேண்டும். பின்பு சாதாரண உருமாற்றங்கள் மூலம் அதனை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு (echelon form) மாற்றிக் கொள்ள வேண்டும். சாதாரண நிரை உருமாற்றங்களிலுள்ள மூன்று செயல்பாடுகள்:

1. ஏதேனும் இரு நிரைகளை இடமாற்றுதல்.
2. ஒரு நிரையின் உறுப்புகளைப் பூச்சியமற்ற எண்ணால் பெருக்குதல்.
3. ஒரு நிரையில் உள்ள உறுப்புகளை மற்றொரு நிரையில் உள்ள ஒத்த உறுப்புகளோடு ஒரே எண்ணால் பெருக்கிக் கூட்டுதல்.

எடுத்துக்காட்டு:

$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \end{array}\right]\text{.}$

$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & -4 & 12 & -8 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & -4 & 12 & -8 \\ 0 & -2 & 7 & -2 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & -2 & 7 & -2 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$\sim \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].$

கடைசி அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதிலிருந்து சமன்பாடுகளின் தீர்வு: x = −15, y = 8, z = 2.

கிராமரின் விதி

கிராமரின் விதியின் வாய்ப்பாடு, ஒருபடியச் சமன்பாட்டுத் தொகுதியின் தீர்வில், ஒவ்வொரு மாறியின் மதிப்பையும் இரு அணிக்கோவைகளின் ஈவாகத் தருகிறது.

எடுத்துக்காட்டு:

$\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\ 3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\ 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 & \end{alignat}$

என்ற சமன்பாடுகளின் தீர்வு:

$x=\frac {\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,} {\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,} ,\;\;\;\;y=\frac {\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,} {\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,} ,\;\;\;\;z=\frac {\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,} {\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.$

ஒவ்வொரு மாறியின் மதிப்பைத் தரும் வாய்ப்பாட்டிலும், பகுதி சமன்பாடுகளின் கெழுக்களால் ஆன அணிக்கோவை. தொகுதி, அந்த அணிக்கோவையில் அந்த மாறியின் கெழுக்களால் ஆன நிரலில் சமன்பாடுகளின் மாறிலி உறுப்புகளைப் பிரதியிட்ட அணிக்கோவையாகும்.