ஏது மூலம், மாடுலோ p

கணிதத்தில், ஏது மூலம், மாடுலோ p (primitive root, modulo p) என்பது எண் கோட்பாட்டில் வரும் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். எண் கோட்பாட்டிற்குள் உள்ள பயன்பாடுகளைத்தவிர இது Cryptography, Error-correcting codes என்ற துறைகளுக்கு தேவைப்படும் கருத்து.

அறிமுகம்

எல்லா முழு எண்களின் வளையம் $\mathbf{Z}$ என்று குறிக்கப்படும். $p$ ஒரு பகா எண் ஆனால் $p\mathbf{Z}$, தாய்வளையம் $\mathbf{Z}$ இன் ஒரு உள்வளையம். $\frac{Z}{p\mathbf{Z}}$ எச்சவகைகளின் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு ஒரு களமாகிறது. இக்களத்தை $\mathbf{Z}_p$ என்றும் எழுதுவதுண்டு. இதனிலிருந்து சூனியமல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தை $\mathbf{Z}_p^{*}$ என்று குறிப்பிட்டு அதை பெருக்கல் குலமாகக் கொள்ளுவோம். இக்குலத்தின் பிறப்பி ஒவ்வொன்றும், ஏது மூலம், மாடுலோ p எனப்படுகிறது. இதையே $\mathbf{Z}_p^{*}$ இன் ஏது-உறுப்பு என்றும் சொல்வதுண்டு.

எடுத்துக்காட்டு

• 2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால்,

$2^1 = 2 = 2(mod 5); 2^2 = 4 = 4(mod 5); 2^3 = 8 = 3(mod 5); 2^4 = 16 = 1(mod 5).$

மற்றும்

$3^1 = 3 = 3(mod 5); 3^2 = 9 = 4(mod 5); 3^3 = 27 = 2(mod 5); 3^4 = 81 = 1(mod 5).$

• $\mathbf{Z}_7$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு $a$ க்கும் $a^n$ இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்:

$\frac{n\rightarrow}{a\downarrow}$	1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	1	2	4	1
3	3	2	6	4	5	1
4	4	2	1	4	2	1
5	5	4	6	2	3	1
6	6	1	6	1	6	1

இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது 3 ம் 5 ம் $\mathbf{Z}_7^{*}$ க்கு பிறப்பிகள். அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.

சில குறிப்புகள்

• ஒவ்வொரு $\mathbf{Z}_p^{*}$ க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை.

• காஸ் இன் தேற்றம்: $p \neq 1$ ஒரு பகா எண்ணாகவும், $\alpha$ ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால், $m = 1, 2, 4, p^\alpha, 2p^\alpha$ க்கு கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ $m$ இருக்கும்.

• $q$ ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, $p = 4q + 1$ ஆக இருந்தால், $\mathbf{Z}_p^{*}$ க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்.

• $p$ ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த $\mathbf{Z}_p$ இலும், அதனில் அடங்கிய எந்த பகா எண் $a$ க்கும்,

$a^{p-1} = 1(mod p).$

இதற்கு ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் (Fermat's Little Theorem)என்று பெயர். $a$ ஓர் ஏது மூலமாகவும் இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால்,

$p - 1$ ஐ விட சிறிய $n$ க்கு $a^n \neq 1(mod p).$

• p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், $\mathbf{Z}_p^{*}$ க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்

5, 13, 29, 53 மட்டுமே.

• p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், $\mathbf{Z}_p^{*}$ க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்:

7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே.

10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை மீள்வரு தசம பின்னங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது.

p < 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன் ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம்.

• 1920 களில், எமில் ஆர்டின் ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது,

a ஒரு வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும்.

இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் ரீமான் கருதுகோளின் உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல் ஹூலி என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், ஆர்டினின் யூகமும் உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சமானம், மாடுலோ n