எழும் தொடர்பெருக்கம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில், எழும் தொடர்பெருக்கம் (rising factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து வரும் அடுத்தடுத்த n எண் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1). ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் எழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, x(n) என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. எழும் தொடர் பெருக்கமானது போக்கம்மர் சார்பு அல்லது போக்கம்மர் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.[1]

முதல் எழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

x^{(0)} = 1 \,

 x^{(1)} = x\,

x^{(2)} = x(x+1) = x^2+x \,

x^{(3)} = x(x+1)(x+2) = x^3+3x^2+2x \,

x^{(4)} = x(x+1)(x+2)(x+3) = x^4+6x^3+11x^2+6x\,

பண்புகள்[தொகு]

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை எழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

 n ! = 1^{(n)}\,

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை எழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n}

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் எழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n .

இவ்விரண்டு தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

{(-x)}^{(n)} = {(-1)}^n {(x)}_{{n}} .

ஒரு எழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் நன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி எழும் தொடர்பெருக்கத்தை n -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு x மற்றும் x + n இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},

மாற்றுக் குறியீடு[தொகு]

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் புத்தகத்தில் எழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.[2]

இதன்படி எழும் தொடர்பெருக்கம்:

x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0,

மற்றுமொரு குறியீடு: (x)+n.[3]

குறிப்பு[தொகு]

  1. Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0  (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
  2. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp. 47,48
  3. Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly 99 (5): 403–422, doi:10.2307/2325085 . The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  • Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, ISBN 0521558212 .
  • Weisstein, Eric W. "Rising Factorial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/RisingFactorial.html
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=எழும்_தொடர்பெருக்கம்&oldid=1367718" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது