எண்முக எண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
146 காந்தப் பந்துகள் எண்முக வடிவில் அடுக்கப்பட்டுள்ளன.

கணிதத்தில் எண்முக எண் (octahedral number) என்பது எண்முகி வடிவில் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்டப் பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு வடிவ எண்.

n -ஆம் எண்முக எண் காணும் வாய்ப்பாடு:[1]

O_n={n(2n^2 + 1) \over 3}.

முதல் எண்கோண எண்கள் சில:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (OEISஇல் வரிசை A005900 ).

பண்புகளும் பயன்பாடுகளும்[தொகு]

எண்முக எண்களைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

 \frac{z(z+1)^2}{(z-1)^4} = \sum_{n=1}^{\infty} O_n z^n = z +6z^2 + 19z^3 + \cdots .

1850 -ல் சர் ஃபிரெடிரிக் பொல்லாக், ஒவ்வொரு எண்ணும் அதிகபட்சம் 7 எண்முக எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும் என்ற அனுமானக்கூற்றைத் தந்துள்ளார்.[2]

வேதியியலில், எண்முகக் கொத்துக்களில் உள்ள அணுக்களின் எண்ணிக்கையை விளக்குவதற்கு பயன்படும் எண்முக எண்கள், மாய எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.[3][4]

மற்ற வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு[தொகு]

சதுர பிரமிடு எண்கள்[தொகு]

ஒவ்வொரு மட்டத்திலும் மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணிக்கையிலான கனசதுரங்களுடைய சதுர பிரமிடுகள். ஒவ்வொரு பிரமிடிலுமுள்ள கனசதுரங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு எண்முக எண்.

எண்முக வடிவ பந்து-அடுக்கை இரு பிரிவாக நடுப்புறத்தில் சதுர குறுக்கு வெட்டு மூலம் பிரித்தால் இரு சதுர பிரமிடுகள் கிடைக்கும். இவ்விரண்டு சதுரப்பிரமிடுகளும் ஒன்றின்கீழ் மற்றொன்று தலைகீழாக அமைந்த தோற்றத்தில் இருக்கும். எனவே ஒரு எண்முக எண், இரு அடுத்தடுத்த சதுர பிரமிடு எண்களின் கூடுதலாக இருக்கும்.[1]

n -ஆம் எண்முக எண் - O_n,
n -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - P_n,
n -1 -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - P_{n-1} எனில்
O_n = P_{n-1} + P_n.

நான்முக எண்கள்[தொகு]

n -ஆம் எண்முக எண் - O_n,
n -ஆம் நான்முக எண் - T_n எனில்
O_n+4T_{n-1}=T_{2n-1}.
O_n = T_n + 2T_{n-1} + T_{n-2}.

கன எண்கள்[தொகு]

ஒரு எண்முகியின் எதிர்ப்பக்கங்களுடன் இரு நான்முகிகளைச் சேர்த்தால் ஒரு சாய்சதுரத்திண்மம் கிடைக்கும். [5] ஒரு சாய்சதுரத் திண்மத்துக்குள் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு கன எண்ணாக இருக்கும். அதாவது,

O_n+2T_{n-1}=n^3.

மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள்[தொகு]

இரு அடுத்தடுத்த எண்முக எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணாக இருக்கும்:[1]

O_n - O_{n-1} = C_{4,n} = n^2 + (n-1)^2.

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண்[தொகு]

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண் என்பது இரு அடுத்தடுத்த எண்கோண எண்களின் கூடுதலாகும்.

முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்கள் சில:

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (OEISஇல் வரிசை A001845 )

மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணிற்கான வாய்ப்பாடு:

O_n+O_{n-1}=\frac{(2n+1)(2n^2+2n+3)}{3}.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=எண்முக_எண்&oldid=1714697" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது