எண்சட்டம்

Calculating-Table by Gregor Reisch: Margarita Philosophica. The woodcut shows Arithmetica instructing an algorist and an abacist (inaccurately represented as Boethius and Pythagoras). There was keen competition beween the two from the introduction of the Algebra into Europe in the 12th century until its triumph in the 16th.

எண்சட்டம் அல்லது அபக்கசு (Abacus) என்பது, முக்கியமாக ஒரு சில ஆசிய நாடுகளில் எண்கணித செயற்பாடுகளில், பயன்படுத்தப்பட்ட ஒரு கணிப்பீட்டுக் கருவியாகும். தற்காலத்தில், இந்த எண்சட்ட கருவியானது மூங்கிலாலான செவ்வக வடிவ சட்டத்தில், குறுக்காக உள்ள இணைப்புக்களில், மணிகளைக் கோர்த்து உருவாக்கப்படுகிறது. ஆனால், ஆரம்ப காலத்தில் இது மண், கல், மரம் அல்லது உலோகத்தில் ஏற்படுத்தப்படும் நீண்ட, குறுகிய பள்ளமான அமைப்புக்களில், பயற்றம் விதைகள் அல்லது சிறிய கற்களை வைத்து நகர்த்துவதுபோல் அமைக்கப்பட்டிருந்தது. தற்கால எண்களுக்குரிய எழுத்து வடிவம் தோன்றுவதற்கு பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னரே இந்த எண்சட்ட முறையானது தோன்றியிருந்தபோதிலும், தற்காலத்திலும், பல ஆசிய, ஆபிரிக்க பிரதேசங்களில் வியாபாரிகள், வர்த்தகர்கள், எழுத்தர்களால் இம்முறை பரந்தளவில் பயன்பட்டு வருகிறது.



அபக்கஸ் (Abacus) என்பது Abq (மிருதுவான மணல் என்பது பொருள்) என்ற அரேபிய சொல்லில் இருந்தோ, அல்லது Abax (table, frame) என்ற கிரேக்க வார்த்தையில் இருந்தோ வந்திருக்க முடியும் என்பது ஆராச்சியாளர்களின் கருத்து. அபக்கஸ் என்ற சொல்லானது கி.பி. 1387 இல் பாவனைக்கு வந்ததாகவும், மணல் எண்சட்டத்தை குறிக்க லத்தீன் மொழியிலிருந்து இந்தச் சொல் பெறப்பட்டதாக அறியப்படுகிறது.

வரலாறு

கணிதம்

கணிதம் (Math அல்லது Maths) என்று நாம் பொதுவாக நோக்கும்போது எமக்கு உடனடியாக தோன்றுவது இலக்கங்களும், அதன் செய்முறைகளும் (கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், பிரித்தல்), அத்துடன் உருவ அமைப்புக்களும்தான் (shapes).

ஆனால் கணிதம் என்பது விஞ்ஞான ஆராய்ச்சிகளுடனும், அதன் பிரயோகங்களுடனும் தொடர்ச்சியாக வளர்ந்து வரும் ஒரு அறிவியல் சாதனமாகும். கணிதத்தின் தேவை எமது அறிவியல் வளர்ச்சிக்கு ஒரு முக்கிய காரணியாகும். இதனால்தான் கலிலியோ "கணிதத்தின் உதவியால் நாம் இவ்வுலகத்தையே அறியலாம்" என்று கூறினார். ஆரம்ப காலங்களில் கணிதம் என்பது எண்கணிதம் (arithmetic) (எண்களின் உபயோகம், அதன் அடிப்படை இயல்புகள், செய்முறைகள்) என்ற அடிப்படை தொகுதியாக இருந்த போதிலும், தொடர்ந்த காலங்களில் மேலும் பல தொகுதிகளாக (அட்சர கணிதம் (algebra), கேத்திர கணிதம் (geometry), நுண்கணிதம் (calculus) இப்படி பல பிரிவுகளாக) பிரிக்கப்பட்டு அறிவியல் சார் வல்லுனர்களுக்கு மிகவும் பயனுடையதாக பரிணமித்து விட்டது.

பண்டைய நாகரீகம்

இவ்வுலகத்தில் இருந்த பண்டைய நாகரீகங்கள் (ancient civilizations) யாவும் தமது காலங்களில் ஓரளவுக்கு கணிதத்தை வளர்த்து விட்டுள்ளன. சில காலங்களில் கணித வளர்ச்சியானது ஒரு நாகரீகத்தில் இருந்து வேறொரு நாகரீகத்துக்கு பரவியுள்ளது. உதாரணமாக, ஆரம்ப கணித செயற்பாடுகள் கி.மு 20 ஆம் நூற்றாண்டில், எகிப்து (Egypt), பபிலோன் (Babylon) போன்ற இடங்களில் ஆரம்பித்து, பின்பு கிரேக்கத்தில் (Greece) தொடர்ச்சியாக வளர்ச்சியுற்றது. கணித சம்பந்தமான ஆவணங்கள் அரபு மொழியில் (Arabic) இருந்து கிரேக்க மொழிக்கும் (Greek), மற்றும் கிரேக்க மொழியில் இருந்து அரேபிய மொழிக்கும் மொழி பெயர்க்கப்பட்டன. அதே நேரம் இந்திய மொழியில் இருந்தும் அரபு மொழிக்கு கணித ஆவணங்கள் மொழி பெயர்க்கப்பட்டதாக வரலாறு கூறுகின்றது.

கணிதத்தின் பரிணாமம்

இதன்பின்பு கணித ஆவணங்கள் யாவும் லத்தின் (Latin) மொழியில் வாசிக்க கூடியவாறு மாற்றப்பட்டது. இப்படியாக வளர்ச்சியடைந்த கணிதம்தான் பல நூற்றாண்டுகளின் பின்பு மேற்கு ஐரோப்பாவில் மேலும் பல விதமான வளர்ச்சிகளைக் கண்டு தற்போது சர்வதேச கணிதமாக பரிணமித்துள்ளது. இக்கால கட்டங்களில் ஒரு சில கணிதத்துறைகளில், குறிப்பிடத்தக்க வளர்ச்சியானது ஐரோப்பா தவிர்ந்த ஏனைய கீழைத்தேய நாடுகளில், குறிப்பாக சீனா, தென்னிந்தியா, யப்பான் போன்ற நாடுகளில் நடை பெற்றுள்ளது. இவற்றின் பயன்கள் தற்போதுள்ள சர்வதேச கணிதத்தில் மறைக்கப்பட்டு விட்டாலும், அவை இன்றும் அந்த நாடுகளில் அவர்களுடைய பாரம்பரிய கணிதமாக கருதப்பட்டு, நடை முறையில் இருக்கின்றது.

ஆதிகால கணிதம்

எண்களுக்குரிய எழுத்து வடிவம் அறியப்படாமல் இருந்தபோது எவ்வாறு எண்கணித மதிப்பீடுகளை கணித்திருக்கமுடியும் என்பது தற்போது சிந்திப்பதற்கு சிறிது கடினமான விடயம். ஆனால் இப்படியான வசதிகள் மற்றும் எழுத்து வடிவம் என்பன இல்லாதபோது மனிதன் தனது கை விரல்களை உபயோகித்து எண்களை இனம் கண்டான். விரல்களின் எண்ணிக்கையை விட கூடுதலான பொருட்கள் தென்பட்டபோது கற்கள், மணிகள், உலோகங்கள் என்பவற்றின் உதவியை நாடினான். பெரும்பாலும் ஒப்பீட்டு முறையிலேயே அவன் எண்களை தரம்பிரித்தான். இதன் தொடர்ச்சியாகத்தான் இவ்வாறான மதிப்பீடுகள் செய்வதற்கு ஒரு கருவியின் அவசியம் அவனுக்குத் தேவைப்பட்டது. அவ்வாறான காலத்தில் தோன்றியதுதான் அபக்கஸ் (Abacus) எனப்படும் எண்கணிதக் கருவியாகும்.

மெசபத்தோமியா

இதுதான் முதன் முதலில் தோன்றிய ஒரு கணிப்பொறி ஆகும். கி.மு. 500 ஆம் ஆண்டில் சீன நாகரீகத்தின்போது இது பாவனைக்கு உகந்ததாக இருந்தபோதும், கி.மு. 400 ஆம் ஆண்டில் மெசபதோமியா (Mesopotamia) நாகரீகத்தில் உருவாகிய 'மணல் அபக்கஸ்'தான் (sand abacus) அக்காலத்தில் பிரபல்யமாக இருந்தது. இது பலகையால் அல்லது களி மண்ணினால் ஆன ஒரு செவ்வக வடிவான தட்டு ஆகும். இதன்மீது மிருதுவான மணலை நிரப்பி, அதில் பல கோடுகளை வரைவதன் மூலம் அம்மணல் பல பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டது. அதில் உள்ள நிரல்கள் யாவும் வெவ்வேறு எண் நிலைகளைக் குறித்தது. இதில் வியாபாரத்தின் நிமித்தம் சந்தைக்கு கொண்டு வரப்படும், விற்கப்படும் பொருட்களின் எண்ணிக்கைகள் வெவ்வேறு வடிவங்களாக அல்லது உருவங்களாக மணற்கோடுகளிடையே வரையப்பட்டு கணக்கிடப்பட்டது.

பபிலோனியா

இதன் தொடர்ச்சியாக கி.மு. 300 ஆம் ஆண்டில் சலவைக்கல்லால் (marble) ஆன கணிதப்பலகை ஒன்று பபிலோனியரால் (Babilonians) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இப்பலகையில் சமாந்தரமாக பல கோடுகள் வரையப்பட்டு, அக்கோடுகளுக்கிடையில் சிறு கோலிகளை (marble balls) உபயோகித்து கணித அளவீடுகளைக் கணித்தார்கள். இக்கருவியானது பரவலாக எகிப்து, ரோம், கிறீஸ், இந்தியா உட்பட பல பண்டைய நாகரீகங்களால் உபயோகப்படுத்தப்பட்டது. இதனை நாம் இப்போதும் ஏதன்ஸ் (Athens) நகரில் உள்ள அரும்பொருட்காட்சிச்சாலையில் பார்க்க முடியும். பிரபலமான இந்தக் கணிப்பொறியை "சலாமி அபக்கஸ்" (Salami abacus) என்று அழைத்தனர். இது 1846 ஆம் ஆண்டில் சலாமித்தீவில் ஆய்வாளர்களால் கண்டெடுக்கப்பட்டது.

ரோமானியா

Copy of a Roman Abacus

சலாமி அபக்கஸ் பாவனையில் இருந்த காலத்தில், அதனை விட சிறந்த அமைப்புடைய செப்பு உலோகத்தாலான கணிதப்பொறி (Hand abacus, Grooved abacus) ஒன்றை ரோமானியர்கள் அறிமுகப்படுத்தினார்கள். இது கிட்டத்தட்ட கி.பி. 500 ஆம் ஆண்டுவரை பாவனையில் இருந்ததாக வரலாறு கூறுகின்றது.

சீனர்களின் மணிக்கணிதம்

இதன் பின்புதான் சீனர்களின் மணிகள் பாவித்து கணக்கிடும் முறை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அம்முறையே மணிக்கணிதம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. இக்கருவியும் ஓரளவு ரோமானியர்கள் பாவித்த கணிப்பொறி போன்ற அமைப்பை கொண்டிருந்தாலும், பல மாற்றங்களையும் கொண்டிருந்தது. முக்கியமாக இது பலகைச் சட்டங்களாலும், மணிகளாலும் ஆக்கப்பட்டு இருந்ததால் இதன் நிறை மற்றைய கருவிகளுடன் ஒப்பிடும்போது மிகவும் குறைவாக இருந்தது. இதனைச் சீனர்கள் சுயன் பான் (Suan-pan) என அழைத்தனர்.

Suanpan (the number represented in the picture is 6,302,715,408)

A Chinese abacus

இது ஒரு செவ்வக வடிவமுடைய சட்டமொன்றில் மணிகளைக் கோர்த்து அமைக்கப்பட்ட உருவமாகும். இங்கு மணிகளை நாம் நிரல்களாக அவதானிக்க முடியும். நிரல்களாக உள்ள மணிகள் ஒரு குறுக்குச் சட்டத்தால் (cross bar) இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு, மேற்பாகத்திலும் (upper deck), கீழ் பாகத்திலும் (lower deck) முறையே 2 மணிகள், 5 மணிகள் என்ற விகிதத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ளன. இதனை பொதுவாக 2/5 அபக்கஸ் என்று அழைத்தனர். இந்த 2/5 அபக்கஸ் இல் 1650 ஆம் ஆண்டுவரை மாற்றம் எதுவும் இல்லாமல் இருந்த போதும், 1/5அபக்கஸ் (அதாவது 1 மணி மேற் பகுதியிலும், 4 மணிகள் கீழ் பகுதியிலும்) சீனாவில் நடை முறைக்கு வந்தது. ஆனாலும் 1/5 அபக்கஸ் முறை சீனாவில் மிகவும் அரிதாகவே பாவிக்கப்பட்டது.

யப்பானில் எண்சட்டம்

Japanese soroban

இந்த 1/5 அபக்கஸ் ஆனது கொரியாவினூடாக யப்பானுக்கு (Japan) சென்று அங்கு சொறோபான் (Soroban) என்ற பெயரில் பிரபல்யமாகியது. பின்பு யப்பானியர் 1930 ஆம் ஆண்டளவில் அதனை 1/4 அபக்கஸ் ஆக மாற்றி, அதற்கும் சொறோபான் என்று பெயரிட்டார்கள். யப்பானியர்களின் அபக்கஸ் (soroban) அமைப்பு மிகவும் இலகுவானதாகும். இதனை நாம் விளையாட்டுப் பொருட்களைக்கொண்டு உருவாக்கிவிடமுடியும். ஒரு செவ்வக வடிவான சட்டத்தில் குறுக்காக 13 நேரிய, மெலிதான, உருளை வடிவான தடிகள் பொருத்தப்பட்டு, அவற்றில் மணிகள் அடுக்கப்படுகின்றன. ஆரம்ப நாட்களில் 9 அல்லது 13 தடிகள் பாவிக்கப்பட்டு வந்திருந்தாலும், தற்போது, பெருக்கல் (multiplication), பிரித்தல் (division), தசமதானங்களில் கணிதச் செயல்முறைகளைச் செய்வதற்கும், மற்றும் இலக்கமொன்றுக்கு வர்க்க மூலம் (square root), கனமூலம் போன்றவற்றை கணிப்பதற்கும் இலகுவாக 13 - 25 நிரல்கள் பாவிக்கப்படுகிறது. இந்த நிரல் மணிகளை இரு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதற்கு, ஒரு குறுக்குச் சட்டம் (cross bar) உபயோகப்படுகிறது. குறுக்குச் சட்டத்தின் மேற்பாகத்தில் நிரலுக்கு ஒரு மணியும், கீழ்ப் பாகத்தில் நிரலுக்கு 4 மணிகளும் கோர்க்கப்பட்டு உள்ளன. மணிகளை மேல்பாகத்தில் இருந்தும், கீழ் பாகத்தில் இருந்தும், குறுக்குச் சட்டத்திற்கு அருகாக கொண்டு வருவதன் மூலம் இலக்கங்கள் குறிக்கப்படுகின்றன. மணிகளை குறுக்குச் சட்டத்தின் அருகாக கொண்டு வருவதை அடுக்குதல் (stacking) என்றும், குறுக்குச் சட்டத்தில் இருந்து தூரமாக தள்ளி வைப்பதை மீளப்பெற்றுக் கொள்ளல் (withdrawing) என்றும் அழைக்கலாம்.

ரஷ்யா

Russian abacus

17 ஆம் நூற்றாண்டில் ரஷ்யரும் Stschoty என்ற அபக்கஸ் ஐ அறிமுகப்படுத்தினார்கள்.

பாடசாலை எண்சட்டம்

School abacus used in Danish elementary school. Early 20th century

உலகெங்கும் பாடசாலைகளில் ஆரம்பக் கல்வியில் எண்களின் பயன்பாட்டுக்கும், எண்கணிதக்கல்விக்கும் எண்சட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலைத்தேய நாடுகளில் நிலைக்குத்தான சட்டங்களில் குறுக்காக செல்லும் கம்பிகளில் கோர்க்கப்பட்டிருக்கும் மணிகளைக் கொண்டதே இவ்வமைப்பாகும் (படத்தைப் பார்க்கவும்). இது பிளாஸ்டிக் அல்லது மரத்தாலான விளைய்யாட்டுப் பொருளாகவும் பயன்படுகிறது. இங்கு மணிகள் அமையப்பட்டிருக்கும் இடத்திற்கான பெறுமைதியைக் காட்டாமல், வெறும் எண்களையே குறிக்கும்படி அமைக்கப்பட்டுள்ளது. இதில் 100 வரையான எண்கள் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

தற்கால பாவனை

தற்போதும் அபக்கஸ் முறையானது மக்களால் பாவிக்கப்படுகின்றது. சீனாவில் 2/5 அபக்கஸ் (suan-pan) பாவனையில் இருந்தாலும், சீனாவிற்கு வெளியே, குறிப்பாக தென்கிழக்காசிய நாடுகளில் 1/4 அபக்கஸ் (soroban) பிரபல்யமாக இருக்கிறது. சீனா, யப்பான் போன்ற நாடுகளில் வியாபார நிலையங்களில், வங்கிகளில், பாடசாலைகளில் எண்கணிதச் செய்முறைகளைச் செய்வதற்கு இதனை உபயோகிக்கின்றார்கள். உலகில் பல்வேறு நாடுகளில் இது எண்கணிதம் படிப்பதற்கு ஒரு கருவியாகப் பாவிக்கப்படுகிறது. ஜப்பான், சீனா போன்ற நாடுகளில் முதலாம் வகுப்பில் இருந்தே அபக்கஸ் முறையில் எண்கணித செயற்பாடுகள் கற்பிக்கப்படுகின்றன. அபக்கஸ் படிப்பதன் மூலம், மாணவர்கள் தமது கணிதத் திறனையும், புத்தி சாதுரியத்தையும் மேம்படுத்தலாம் என்பது அறிஞர்களின் கருத்து.

எண்சட்டத்திற்கான நேர வரைபு

இம்முறையில் பயில்வதற்கு எமக்கு 0 முதல் 10 வரையிலான எண்களுக்குள் எவ்வாறு கூட்டல், கழித்தல் செய்ய முடியும் என்பது தெரிந்திருந்தால் மட்டும் போதுமானது. அதைக் கொண்டே மிகப் பெரிய எண்களையும் நாம் கையாள முடியும். அபக்கஸ் முறையை ஐந்து வயதிலிருந்து குழந்தைகளுக்கு கற்றுக் கொடுக்கத் தொடங்குவது அவர்களது மூளை வளர்ச்சிக்குப் பெரிதும் உதவும் எனவும், எண்களைப் பற்றிய அறிவு உள்ளுணர்விலேயே அதிகரிக்கும் எனவும் தனது மதிப்பீடுகள் பற்றிய அவர்களது நம்பிக்கையை வளப்படுத்தும் எனவும் அறிஞர்கள் நம்புகின்றனர். கூட்டல், கழித்தல் கணக்குகளை இலகுவாக செய்யவும், மிகப் பெரிய எண்களை எளிதில் கையாளவும் முடியும். இதனால் கூர்ந்து கவனிக்கும் திறன் அதிகரிக்கும்.

வெளி இணைப்புக்கள்

• The Abacus: A brief history
• "The Abacus: A History"
• A History: Invention of the Abacus