இருபடிய எச்சம்

கணிதத்தில் எண் கோட்பாட்டில் இருபடிய எச்சம் (Quadratic Residue)என்ற கருத்து ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. a என்னும் எண்ணை மாடுலோ n இருபடிய எச்சம் என்று சொல்வதாவது, கீழ்க்காணும் மாடுலோ எண் கணிதச் சமன்பாட்டின்படி x என்னும் எண் இருக்கும் பொழுதாகும்.

${x^2}\equiv{a}\mbox{ (mod }n\mbox{)}.$ .

எடுத்துக்காட்டாக,

$3^2 \equiv 2(mod 7)$ என்றால்,7 இனுடைய ஒரு இருபடிய எச்சம் 2 என்று சொல்லப்படும். மாடுலோ எண் கணிதத்தில் இருபடிய எச்சங்கள் வர்க்க மூலம் உள்ள எண்கள். இங்கு மாடுலோ 7 என்ற மாடுலோ எண் கணிதத்தில் 2 இன் வர்க்கமூலம் 3.

இக்கருத்துஆய்லர்(1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோரால் முதலில் பேசப்பட்டு ஜெர்மானிய கணித வல்லுனர் காஸினால் அவர் அறிமுகப்படுத்திய மாடுலோ எண் கணிதம் மூலம் விவரமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

முறையான அறிமுகம்[தொகு]

ஒரு பகா எண் $p$ ஐயும், ஒரு முழு எண் $a$ ஐயும் எடுத்துக்கொள்வோம். ஏதாவது ஒரு முழு எண் $x$ க்கு

$x^2 \equiv a (mod p)$ (இதையே $a \equiv x^2 (mod p)$ என்றும் எழுதலாம்)

என்பது உண்மையானால், மாடுலோ $p$ க்கு $a$ ஒரு இருபடிய எச்சம் என்று கூறப்படும். இதையே $a$ என்ற எண் $p$ இனுடைய இருபடிய எச்சம் என்றும் சொல்வதுண்டு.

இக்கட்டுரை முழுவதும் மாடுலோ எண்கணிதத்தைப்பற்றியே இருப்பதால் ' $\equiv$ ' இருக்கவேண்டிய இடத்தில் '=' குறியையே பயன்படுத்துவோம்.

எந்த முழுஎண் $x$ க்கும்

$x^2 \neq a (mod p)$ (இதையே $a \neq x^2 (mod p)$ என்றும் எழுதலாம்)

என்பது உண்மையானால், மாடுலோ $p$ க்கு $a$ ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது (quadratic non-residue) என்று கூறப்படும். இதையே $a$ என்ற எண் $p$ இனுடைய இருபடிய எச்சமல்லாதது என்றும் சொல்வதுண்டு.