இருபடிய எச்சம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் எண் கோட்பாட்டில் இருபடிய எச்சம் (Quadratic Residue)என்ற கருத்து ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. a என்னும் எண்ணை மாடுலோ n இருபடிய எச்சம் என்று சொல்வதாவது, கீழ்க்காணும் மாடுலோ எண் கணிதச் சமன்பாட்டின்படி x என்னும் எண் இருக்கும் பொழுதாகும்.

{x^2}\equiv{a}\mbox{ (mod }n\mbox{)}..

எடுத்துக்காட்டாக,

3^2 \equiv 2(mod 7) என்றால்,7 இனுடைய ஒரு இருபடிய எச்சம் 2 என்று சொல்லப்படும். மாடுலோ எண் கணிதத்தில் இருபடிய எச்சங்கள் வர்க்க மூலம் உள்ள எண்கள். இங்கு மாடுலோ 7 என்ற மாடுலோ எண் கணிதத்தில் 2 இன் வர்க்கமூலம் 3.

இக்கருத்துஆய்லர்(1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோரால் முதலில் பேசப்பட்டு ஜெர்மானிய கணித வல்லுனர் காஸினால் அவர் அறிமுகப்படுத்திய மாடுலோ எண் கணிதம் மூலம் விவரமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

முறையான அறிமுகம்[தொகு]

ஒரு பகா எண் p ஐயும், ஒரு முழு எண் a ஐயும் எடுத்துக்கொள்வோம். ஏதாவது ஒரு முழு எண் x க்கு

x^2 \equiv a (mod p) (இதையே a \equiv x^2 (mod p) என்றும் எழுதலாம்)

என்பது உண்மையானால், மாடுலோ p க்கு a ஒரு இருபடிய எச்சம் என்று கூறப்படும். இதையே a என்ற எண் p இனுடைய இருபடிய எச்சம் என்றும் சொல்வதுண்டு.

இக்கட்டுரை முழுவதும் மாடுலோ எண்கணிதத்தைப்பற்றியே இருப்பதால் '\equiv' இருக்கவேண்டிய இடத்தில் '=' குறியையே பயன்படுத்துவோம்.

எந்த முழுஎண் x க்கும்

x^2 \neq a (mod p) (இதையே a \neq x^2 (mod p) என்றும் எழுதலாம்)

என்பது உண்மையானால், மாடுலோ p க்கு a ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது (quadratic non-residue) என்று கூறப்படும். இதையே a என்ற எண் p இனுடைய இருபடிய எச்சமல்லாதது என்றும் சொல்வதுண்டு.


எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

11 = 2^2(mod 7) \therefore 11, 7இனுடைய இருபடிய எச்சம்.

ஆனால் 7, மாடுலோ 11 க்கு ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது. 11 இன் எல்லா எச்சங்களையும் வர்க்கப்படுத்தி பட்டியலிட்டால் இதைச் சரிபார்க்கலாம்.

1^2 = 1(mod 11)
2^2 = 4(mod 11)
3^2 = 9(mod 11)
4^2 = 5(mod 11)
5^2 = 3(mod 11)
6^2 = 3(mod 11)
7^2 = 5(mod 11)
8^2 = 9(mod 11)
9^2 = 4(mod 11)
10^2 = 1(mod 11)\therefore 1,3,4,5,9 இவ்வைந்து எண்கள்தான் 11 இன் இருபடிய எச்சங்கள். 2, 6, 7, 8, 10 இவ்வைந்தும் இருபடிய எச்சமல்லாததுகள்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இருபடிய_எச்சம்&oldid=1396717" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது