இருபடிச் சார்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
x^2 - x - 2\!

கணிதத்தில், இருபடிச் சார்பு (quadratic function) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பு. இதன் பொதுவடிவம்:

f(x)=ax^2+bx+c,\quad a \ne 0.

இச் சார்பின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இப்பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு, y-அச்சுக்கு இணையானதாக அமையும்.

ax^2+bx+c என்ற கோவையின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு 2 என்பதால் இருபடிச் சார்பு ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

இருபடிச் சார்பை பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தினால் கிடைப்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அதன் மூலங்கள் என அழைக்கப்படும்.

சொற் பிறப்பியல்[தொகு]

லத்தீன் மொழி சொல்லான quadratum -லிருந்து தோன்றியது quadratic (இருபடி) என்ற ஆங்கில உரிச்சொல். quadratum என்பது சதுரத்தைக் குறிக்கும் சொல்லாகும்.

பொதுவாக, முன்னொட்டு quadr(i) – என்பது எண் 4-ஐக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: ஆங்கிலத்தில், நான்கு பக்கங்களையுடைய வடிவவியல் வடிவம் quadrilateral என்றும்; கார்ட்டீசிய ஆயமுறைமையில் நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும் கார்ட்டீயன் தளத்தின் ஒவ்வொரு பாகமும் quadrant என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

சதுரத்தின் பக்கங்கள் 4 என்பதால், Quadratum எனும் லத்தீன் சொல் சதுரத்தைக் குறிக்கிறது.

x பக்க அளவுகொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவைக் குறிப்பதால், இயற்கணிதத்தில் x2 என்பது x ஸ்கொயர் (square-சதுரம்) என அழைக்கப்படுகிறது.

மூலங்கள்[தொகு]

இருபடிச் சார்பு : f(x) = ax^2+bx+c\, -ன் மூலங்கள் என்பவை f(x) = 0 சமன்பாட்டைச் சரிசெய்யும் x -ன் மதிப்புகளாகும்..

கெழுக்கள் a, b, and c மெய்யெண்கள் அல்லது சிக்கலெண்களாக இருந்தால் இருபடிச் சார்பின் மூலங்கள்:

x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a},

இங்கு \Delta = b^2 - 4 a c \, . என்பது தன்மைகாட்டி (discriminant) எனப்படும்.

வடிவங்கள்[தொகு]

இருபடிச் சமன்பாட்டை மூன்றுவிதமான வடிவங்களில் எழுதலாம். [1]

  • பொது வடிவம்
f(x) = a x^2 + b x + c \,\!
  • காரணி வடிவம்
f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\,\!
இங்கு  x_1 மற்றும்  x_2 இரண்டும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள்.
  • உச்சி வடிவம் அல்லது திட்ட வடிவம்
f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!
இங்கு h மற்றும் k இரண்டும் இருபடிச்சார்பின் வரைபட பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் x, y அச்சுதூரங்களாகும்.

இம்மூன்று வடிவங்களையும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெறுதல் முடியும்:

பொது வடிவத்திலிருந்து காரணி வடிவத்திற்கு மாற்ற இருபடிச் சார்பின் இரு மூலங்கள்,  x_1 மற்றும்  x_2 -ஐக் கண்டுபிடித்தால் போதுமானது. வர்க்க நிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்திப் பொது வடிவத்தைத் திட்ட வடிவத்துக்கு மாற்றலாம். காரணி வடிவிலிருந்து பொது வடிவத்திற்கு மாற்ற, பெருக்கி விரித்தெழுத வேண்டும். திட்ட வடிவிலிருந்து பொது வடிவத்திற்கு மாற்ற, வர்க்கத்தை விரித்து, a -ஆல் பெருக்கிச் சுருக்குதல் வேண்டும்

வரைபடம்[தொகு]

f(x) = ax^2 ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!

எந்தவடிவில் இருந்தாலும் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் மேலேயுள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ளபடி ஒரு பரவளையமாகும்.

  • a > 0 \,\! பரவளையம் மேல்நோக்கித் திறப்புடையது.
  • a < 0 \,\! பரவளையம் கீழ்நோக்கித் திறப்புடையது.

பரவளையம் உச்சிப்புள்ளியிலிருந்து கூடும்(குறையும்) வேகமானது, கெழு a -ன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. a -ன் மதிப்பு பெரிய மிகை எண்ணாக இருந்தால் கூடும் வேகம் அதிகமாகவும் வரைபடம் அதிகமாக மூடியுள்ள மாதிரி அமையும்.

கெழுக்கள் b மற்றும் a இரண்டும் சேர்ந்து பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சையும் உச்சிப்புள்ளியின் x அச்சு தூரத்தைத் தீர்மானிக்கின்றன. உச்சிப்புள்ளியின் x அச்சுதூரம்: x = -\frac{b}{2a}.

y அச்சு வெட்டும்போது பரவளையத்தின் கீழ்முக சாய்வு, கெழு b ஆகும்.

கெழு c, பரவளையத்தின் உயரத்தைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. y = c புள்ளியில் பரவளையமானது y அச்சை சந்திக்கிறது.

உச்சிப்புள்ளி[தொகு]

பரவளைய வளைகோட்டின் திசைப்போக்கு உச்சிப்புள்ளியில் மாறுவதால் உச்சிப்புள்ளி, திருப்பு புள்ளி எனப்படும். இருபடிச் சார்பு உச்சி வடிவில் தரப்பட்டுள்ளபோது அதன் உச்சிப்புள்ளி (h, k)\,\! ஆகும்.

வர்க்க நிரப்பிமுறையைப் பயன்படுத்தி பொது வடிவம்

f(x) = a x^2 + b x + c \,\! -லிருந்து
 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} , என உச்சிப்புள்ளி வடிவிற்கு மாற்ற,

உச்சிப்புள்ளியின் பொது வடிவம்:

 \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)

இருபடிச் சார்பு காரணி வடிவிலிருக்கும்போது,

f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!

இருமூலங்களின் சராசரியான \frac{r_1 + r_2}{2} \,\! என்பது உச்சிப்புள்ளியின் x-அச்சுதூரமாகும். எனவே உச்சிப்புள்ளி:

 \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f\left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)\right)\!

a < 0 \,\! எனில் உச்சிப்புள்ளி பெருமப் புள்ளியாகவும் a > 0 \,\! எனில் சிறுமப் புள்ளியாகவும் இருக்கும்.

  • சமச்சீர் அச்சு:
 x=h=-\frac{b}{2a} சமன்பாடு தரும் நிலைக்குத்துக் கோடு உச்சிப்புள்ளி வழியே செல்லும். இது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சாகும்.
  • பெரும மற்றும் சிறுமப் புள்ளிகள்

இருபடிச் சார்பின் வகைக்கெழுச் சார்பின் மூலங்களைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளியாக அமையும் உச்சிப்புள்ளியைப் காணலாம்.

f(x)=ax^2+bx+c \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b \,\!, (இருபடிச் சார்பின் முதல் வகைகெழு.)

இச்சார்பைப் பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்த,

x=-\frac{b}{2a} என்ற உச்சிப்புள்ளியின் x -அச்சுதூரம் கிடைக்கிறது. x -ன் இந்த மதிப்பைச் சார்பில் பிரதியிட,
f(x) = a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c = -\frac{(b^2-4ac)}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} \,\!,

எனவே உச்சிப்புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்:

 \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).

வர்க்க மூலம்[தொகு]

இருபடிச் சார்பின் வர்க்க மூலத்தின் வரைபடம் நீள்வட்டம் அல்லது அதிபரவளையமாக அமையும்.

  • a>0\,\! எனில், சமன்பாடு  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} ஒரு அதிபரவளையத்தைக் குறிக்கும். இந்த அதிபரவளையத்தின் அச்சானது, சமன்பாடு  y_p = a x^2 + b x + c \,\! தரும் பரவளையத்தின் சிறுமப் புள்ளியின் y -அச்சுதூர நிலைக்கோட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

y -அச்சுதூரம் எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் அதிபரவளையத்தின் அச்சு கிடைமட்டமாகவும் நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் நிலைக்குத்தாகவும் இருக்கும்.

  • a<0\,\! எனில் சமன்பாடு  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} ஒரு நீள்வட்டமாகவோ அல்லது எதையும் குறிக்காமலோ இருக்கலாம். சமன்பாடு,  y_p = a x^2 + b x + c \,\! தரும் பரவளையத்தின் பெருமப் புள்ளியின் y -அச்சுதூரம் நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் சமன்பாடு :  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} ஒரு நீள்வட்டமாகவும் எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் புள்ளிகளின் வெற்று இயங்குவரையாகயும் (empty locus) அமையும்.

இருமாறி இருபடிச் சார்பு[தொகு]

இருமாறி இருபடிச் சார்பு (bivariate quadratic function) என்பது பின்வரும் வடிவில் அமைந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

 f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!

இச்சார்பு ஒரு இருபடிப் பரப்பைக் குறிக்கும். f(x,y)\,\! = 0 என்பது z=0\,\! எனும் தளத்தை இப்பரப்பு வெட்டுவதை விளக்கும். இந்த வெட்டுப்பகுதி கூம்பு வெட்டுக்குச் சமானமான இயங்குவரையாகும்.

பெருமம் மற்றும் சிறுமம்[தொகு]

பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளி:  (x_m, y_m) \,

x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}
  •  4AB- E^2 =0 \, and  DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \, எனில் இச்சார்புக்கு பெருமமும் சிறுமமும் கிடையாது. வரைபடம் ஒரு பரவளைய உருளையாகும்.
  •  4AB- E^2 =0 \, and  DE-2CB=2AD-CE =0 \, எனில் சார்பு பெருமம்/சிறுமம் அடைகிறது. A>0 எனில் சிறுமமும் A<0, எனில் பெருமமும் அடைகிறது. வரைபடம் ஒரு பரவளைய உருளையாகும்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இருபடிச்_சார்பு&oldid=1496998" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது