இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

வடிவவியலில், இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றம் (Stewart's theorem) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும், விழுகோட்டிற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் குறித்தத் தேற்றம். இத்தேற்றத்தை இசுக்காட்லாந்திய கணிதவியலாளர் மாத்யூ இசுட்டூவர்ட்டு (Matthew Stewart) என்பார் 1746 இல் வெளியிட்டார் என்பதால் இப்பெயர் சூட்டப்பட்டுள்ளது[1].


தேற்றம்[தொகு]

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளங்களாக a, b, c ஆகியவை இருக்கட்டும். பக்கம் a என்னும் பக்கத்தில் விழும் விழுகோட்டின் நீளமாக d என்பது இருக்கட்டும். விழுகோடு d, பக்கம் a யை இருபகுதியாகப் பகுத்து அவற்றின் நீளங்கள் m மற்றும் n ஆக இருந்தால், இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்றம் என்ன சொல்கின்றது என்றால்,

b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,

அப்பொலோனியசின் தேற்றம் என்பது இந்த விழுகோடு d என்பது முக்கோணத்தின் நடுகோடாக இருக்கும் பொழுது உண்மையாகும் இசுட்டுவர்ட்டின் ஒரு தனி வகை.


நிறுவல்[தொகு]

இசுட்டூவர்ட்டின் தேற்ற நிறுவலுக்கான படம்

இத்தேற்றத்தைக் கோசைன் விதி கொண்டு நிறுவலாம்:[2]

θ ("தீட்டா") என்பது m, d ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமாகவும், θ′ ("தீட்டா கொட்டு") என்பது n, d ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமாகவும் இருக்கட்டும். இப்பொழுது θ′ என்பது θ வின் துணைக்கோணம் (θ′ = 180° - θ) , ஆகவே cos θ′ = −cos θ. இவ்விரு கோணங்களுக்குமான (θ, θ′) கோசைன் விதி:


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2  &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

முதல் சமன்பாட்டை n ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது சமன்பாட்டை m ஆல் பெருக்கிக் கூட்டியபின் cos θ ஐ மாற்றீடு செய்து விலக்கினனல், கிட்டுவது:


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2), \\
\end{align}

இதுவே நிறுவவேண்டிய முடிவு.

மாற்று வழியாகவும் நிறுவலாம். முக்கோணத்தின் முனையில் இருந்து செங்குத்துக்கோடு ஒன்றை வரைந்து, பித்தேகோரசின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி b, c, d ஆகிய மூன்றின் நீளத்தையும் செங்குத்துக்கோட்டின் நீளத்தோடு தொடர்புபடுத்தி எழுதலாம். பின்னர் இப்படி பெறும் சமன்பாட்டின் இருபக்கமும் மேலே உள்ள சமன்பாட்டுக்கு ஈடாகிவிடும்[3]

இவற்றையும் பார்க்கவும்[தொகு]

உசாத்துணை[தொகு]

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  2. Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.
  3. இது இரசல் நூலில் உள்ள நிறுவல் முறை.