ஃபிபனாச்சி எண்கள்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

ஃபிபனாச்சி எண்கள் (Fibonacci numbers) என்பவை கணிதத்தில் பரிச்சயமில்லாதவர்களையும் ஈர்க்கும் ஒரு சுவையான கணிதப்பொருள்.

வடமொழியில் 'சந்தஸ் சாஸ்திரம்' (சீர் இயல்) என்று பிங்களர் (ஏறக்குறைய கி.மு.3-ஆவது நூற்றாண்டு) எழுதிய நூலில் 'மாத்ரா மேரு' என்ற பெயரில் முதன் முதல் பேசப்பட்டது. ஆறாவது நூற்றாண்டில் விரஹங்கர் எழுதிய யாப்பிலக்கண நூல்களில் மறுபடியும் பேசப்பட்டது. 12 ஆவது நூற்றாண்டில் ஹேமசந்திரர் என்பவருடைய நூலிலும் விரஹங்கர் நூலுக்கு கோபாலர் எழுதிய உரைநூலிலும் இது விபரமாகப் பேசப்படுகிறது.

மேற்கத்திய வரலாற்றில் லியானார்டோ டா வின்ஸி (அவருடைய இன்னொரு பெயர் ஃபிபனாச்சி) (13-ஆவது நூற்றாண்டு) எழுதிய லிபர் அபேஸி (1202) என்ற லத்தீன் நூலில் முதன் முதல் பேசப்பட்டு இன்றும் பல அறிவியல் துறைகளிலும் அவருடைய பெயரைத் தாங்கி நிற்கும் பொருள் இது.

பொருளடக்கம் 1 இவ்வெண்களின் தொடர் 2 ஃபிபனாச்சி மரம் 3 தொடரும் பின்னம் 4 ஒருங்குகள் ஒருங்கும் வேகம் 5 பாஸ்கல் முக்கோணம் 6 மீள்வரு தொடர்புகள் 7 தங்கப்பிரிவினை 8 ஐந்துமுனை விண்மீன்

[தொகு] இவ்வெண்களின் தொடர்

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,....

இப்படிப் போகிறது இத் தொடர்.

இத்தொடரின் விதி: F₁ = 1,F₂ = 1,F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2},n > 2.

[தொகு] ஃபிபனாச்சி மரம்

படிமத்தைப்பார். ஒரு மரமும் அதன் கிளைகளும் காண்பிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு 'பழைய' கிளையிலும் (மரத்தையும் சேர்த்துத் தான்) ஓராண்டுக் கொருமுறை புதுக் கிளை முளைக்கிறது. இப்படி முளைக்கும் ஒவ்வொரு புதுக்கிளையும் அடுத்த ஆண்டும் புதுக் கிளையாகவே இருந்து அதற்கு அடுத்த ஆண்டிலிருந்து பழைய கிளையாகப் பங்கு பெறுகிறது. n ஆண்டுகளுக்குப்பிறகு உள்ள கிளைகளின் எண்ணிக்கை F_n. படிமத்தில் ஏழாண்டுகள் வரை ஆண்டு தோறும் இருக்கும் கிளைகளின் எண்ணிக்கையும் கிளைகளும் காண்பிக்கப் பட்டுள்ளன. F₇ = 13.....F₂₂ = 28657... .

[தொகு] தொடரும் பின்னம்

இத் தொடரும் பின்னத்தின் மதிப்பை x என்று கொண்டால் நமக்குக் கிடைக்கும் சமன்பாடு:

அதாவது x² − x = 1.

இதனுடைய (நேர்மத) தீர்வு . இதற்குக் குறியீடு:

இத்தொடரும் பின்னத்தின் ஒருங்குகள்:

இவ்வொருங்குகளின் விகுதிகள் தான் ஃபிபனாச்சி தொடர் எண்கள்.

[தொகு] ஒருங்குகள் ஒருங்கும் வேகம்

இவ்வொருங்குகள் மிக மிக மெதுவாகத்தான் அதன் எல்லையை அடைகின்றன. எல்லாத்தொடரும் பின்னங்களிலும் இதுதான் மிக மெதுவாக எல்லையை நோக்கிச் செல்லும் ஒருங்குகளையுடையது. ஒரு ஒப்பிடுதலுக்கு வின் தொடரும் பின்னத்தைப் பார்த்தோமானால்,

வின் 6-ஆவது ஒருங்கு க்கும் க்கும் உள்ள வித்தியாசம் .000072;

இன் 6-ஆவது ஒருங்கு க்கும் க்கும் உள்ள வித்தியாசம் .0070.

ஆக, இன் தொடரும் பின்னத்தின் ஒருங்கும் வேகம் நூறு பங்கு குறைவு!.

[தொகு] பாஸ்கல் முக்கோணம்

பாஸ்கல் முக்கோணத்திலிருந்து ஒவ்வொரு நிரை (Row) யாகப் படித்தால் ஒவ்வொரு அடுக்குக்குகந்த ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் கிடைக்கும் என்பது கணித உலகில் எல்லோருக்கும் தெரிந்ததே. பாஸ்கலுடைய(1623 - 1662) காலத்திற்கு 200 ஆண்டுகளுக்குப்பிறகு வந்த லூகஸ் 1872 இல் அதே பாஸ்கல் முக்கோணத்தில் ஏறுமுக மூலைவிட்டங்களின் உறுப்புகளைக் கூட்டினால் ஃபிபனாச்சி எண்களின் தொடர் கிடைப்பதை கவனித்தார். இதைத் தான் படிமம் காட்டுகிறது. இதில் விந்தை என்னவென்றால் 200 ஆண்டுகள் இதை ஒருவரும் கவனித்ததாகத் தெரியவில்லை என்பதுதான்.

கணிதம் சம்பந்தப்பட்டவரை இதில் ஆச்சரியப்படத் தக்கபடி ஒன்றுமில்லை. ஏனென்றால், படிமத்தில் காட்டியபடி

0 + 1 = 1 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி))

1 + 5 = 6 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி)

4 + 6 = 10 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி)

3 + 1 = 4 (ஈருறுப்புக்கெழு: பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் விதி)

இவைகளை நிரல் நிரலாகக்கூட்டினால்,

8 + 13 = 21 (ஃபிபனாச்சி தொடரின் விதிப்படி)

[தொகு] மீள்வரு தொடர்புகள்

[தொகு] தங்கப்பிரிவினை

[தொகு] ஐந்துமுனை விண்மீன்