பரவற்படி

புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் பரவற்படி அல்லது மாறுபாட்டெண் என்பது (variance), ஒரு எண்தரவு எந்தளவு பரந்து கிடக்கிறது என்பதை அளவிடுகிறது. ஒரு எண்தரவின் பரவற்படி சுழி எனில் அத்தரவின் உறுப்பெண்கள் எல்லாம் சமமானவை ஆகும்.

சுழியல்லா பரவற்படியின் மதிப்பு எப்போதும் நேர் எண்ணாகவே அமையும். பரவற்படியின் மதிப்பு சிறியதாக இருந்தால் அத் தரவின் உறுப்புகள் தரவின் சராசரிக்கும் (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு), தமக்குள்ளாகவும் நெருக்கமாக அமைந்திருக்கும்; பரவற்படியின் மதிப்பு பெரியதாக இருந்தால், தரவின் உறுப்புகள் சராசரியிலிருந்தும் தமக்குள்ளாகவும் கூடுதலாக விலகி அமைந்திருக்கும். பரவற்படியின் வர்க்கமூலம் திட்டவிலக்கம் அல்லது நியமவிலகல் என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு நிகழ்தகவுப் பரவலின் விளக்கிகளில் (descriptors) ஒன்றாக பரவற்படி உள்ளது. குறிப்பாக பரவற்படியானது அப் பரவலின் இரண்டாம் மைய விலக்களவாகும். கண்டறியப்பட்ட முழுத்தொகுதி அல்லது கூறின், நிகழ்தகவுப் பரவலின் தன்மையை விளக்கும் அளவாகப் பரவற்படி உள்ளது.

வரையறை

சமவாய்ப்பு மாறி X இன் பரவற்படி, அதன் இரண்டாம் மைய விலக்களவு ஆகும். அதாவது சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி μ = E[X] ஐப் பொறுத்த விலகல்களின் வர்க்கங்களின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாக பரவற்படி அமையும்:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].$

இந்த வரையறை தனித்த சமவாய்ப்பு மாறிகள், தொடர் சமவாய்ப்பு மாறிகள் மற்றும் இருவிதமாகவும் உள்ள சமவாய்ப்பு மாறிகளுக்குப் பொருந்தும். சமவாய்ப்பு மாறியின் உடன்மாறுபாட்டெண்ணாகவும் பரவற்படியைக் கொள்ளலாம்:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).$

பரவற்படி, Var(X), $\scriptstyle \sigma _{X}^{2}$ அல்லது சுருக்கமாக, σ² (வாசிப்பு:சிக்மா ஸ்கொயர்ட்) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பரவற்படியின் வரையறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு விரிக்கலாம்:

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}\end{aligned}}$

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி X இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f(x) எனில் அதன் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}$

இதில் வரும்,

• தொகையீடுகள் வரையறுத்த தொகையீடுகள் ஆகும். இத் தொகையீட்டின் எல்லைகள், சமவாய்ப்பு மாறி  X இன் வீச்சாக அமையும்.
• எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு $\mu$ இன் வாய்ப்பாடு:

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,.$

கோஷியின் பரவல் போன்று எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத தொடர் பரவலுக்கு பரவற்படியும் இருக்காது. மேலும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத வேறுபல பரவல்களுக்கு பரவற்படியின் வாய்ப்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு விரிவதால், பரவற்படி முடிவுறு எண்ணாக இருக்காது.

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X இன் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு x₁ ↦ p₁, ..., x_n ↦ p_n எனில் அதன் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}^{2})-\mu ^{2}$

இதில் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு $\mu$ இன் வாய்ப்பாடு:

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}$.

சம நிகழ்தகவு கொண்ட n மதிப்புகளின் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

சம நிகழ்தகவு கொண்ட n மதிப்புகளின் பரவற்படியை அவற்றின் சராசரியைப் பயன்படுத்தாமலேயே கீழ்க்காண்டவாறு காணமுடியும்:

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

எடுத்துக்காட்டுகள்

இயல்நிலைப் பரவல்

இயல்நிலைப் பரவல் μ மற்றும் σ வைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட தொடர் பரவலாகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$

இயல்நிலைப் பரவலின் சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx=\sigma ^{2}.$

புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவிலும் பரவற்படி காணப்படுவதற்குக் காரணம் மைய எல்லைத் தேற்றத்தில் இயல்நிலைப் பரவல் ஏற்கும் பங்காகும்.

அடுக்குக்குறிப் பரவல்

அடுக்குக்குறிப் பரவல் [0,∞) இடைவெளியில் பண்பளவை λ கொண்ட தொடர் பரவல் ஆகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,$

அடுக்குக்குறிப் பரவலின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு μ = λ⁻¹ மற்றும் அதன் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)=\int _{0}^{\infty }(x-\lambda ^{-1})^{2}\,\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda ^{-2}.\,$

எனவே அடுக்குறிப் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு σ² = μ² என அமையும்.

பாய்சான் பரவல்

பாய்சான் பரவல் பண்பளவை λ கொண்ட தனித்த பரவலாகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

$p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },$ (k = 0, 1, 2, ... )

பாய்சான் பரவலின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) μ = λ.

பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }(k-\lambda )^{2}=\lambda ,$

எனவே பாய்சான் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, :σ² = μ.

ஈருறுப்புப் பரவல்

ஈருறுப்புப் பரவல் பண்பளவைகள் n, p கொண்ட தனித்த பரவல் ஆகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

$p(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},$ (k = 0, 1, 2, ..., n)

இப் பரவலின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) μ = np.

பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}(k-np)^{2}=np(1-p),$

நாணயம் சுண்டல்

$p=0.5$ கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவல் $n$ முறை ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும்போது $k$ முறை ’தலை’ கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தருகிறது.

’கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை’ என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) ${\frac {n}{2}}$, பரவற்படி ${\frac {n}{4}}$.

சீரான பகடை

ஆறு முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடை வீசப்படும்போது கிடைக்கக் கூடிய முடிவுகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6. இம் முடிவுகள் கிடைக்கக்கூடிய ஆறு நிகழ்தகவுகளும் சமமானவை ( $\textstyle {\frac {1}{6}}$).

சமவாய்ப்பு மாறியாகப் ’பகடையை வீசும்போது கிடைக்கும் எண்’ எனக் கொண்டால் அச் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தவுப் பரவல் ஒரு தனித்த பரவலாகும்.

அதன் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு): (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5.

பரவற்படி:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

n முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடையை வீசும்போது நிகழும் விளைவு X இன் பரவற்படி காணும் வாய்ப்பாடு:

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

பண்புகள்

அடிப்படைப் பண்புகள்

• எப்பொழுதும் வர்க்கங்கள் சுழி அல்லது எதிர் இல்லா எண்களாக மட்டுமே இருக்கும் என்பதால் பரவற்படி எப்பொழுதும் நேர் எண்ணாகும்.

$\operatorname {Var} (X)\geq 0.$

• மாறிலியாக அமையும் சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவற்படி சுழியாக இருக்கும். ஒரு தரவின் பரவற்படி சுழி எனில் அத்தரவின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமான மதிப்புடையவை

$P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0.$

• தரவின் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலி சேர்க்கப்பட்டாலும் அத் தரவின் பரவற்படியில் மாற்றம் இருக்காது.

$\operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).$

• தரவின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலியால் பெருக்கப்பட்டால் அத் தரவின் பரவற்படி, அந்த மாறிலியின் வர்க்கத்தால் பெருக்கப்படும்.

$\operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).$

• இரு சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலின் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

$\operatorname {Var} (X-Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)-2\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

இதில் Cov(., .), உடன்பரவற்படியைக் குறிக்கிறது.

பொதுவாக, $N$ சமவாய்ப்பு மாறிகள் $\{X_{1},\dots ,X_{N}\}$ இன் கூடுதலின் பரவற்படி:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).$

இந்த முடிவுகளிலிருந்து, நேரியல் சேர்வாக அமையும் சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவற்படி:

${\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}$

ஒட்டுறவான மாறிகளின் கூடுதல்

• சமவாய்ப்பு மாறிகள் ஒட்டுறவு கொண்டவையாக இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி, அவற்றின் உடன்பரவற்படிகளின் கூடுதலாக இருக்கும்:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i}\sum _{<j\leq n}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).$

• சமவாய்ப்பு மாறிகள் $X_{1},\dots ,X_{N}$ ஒன்றுக்கொன்று ஒட்டுறவு இல்லாதவை எனில் ($\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),$) அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).$

சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எப்பொழுதும் ஒட்டுறவு இல்லாதவை என்பதால் அவற்றுக்கு இப்பண்பு பொருந்தும்.

சாரா மாறிகளின் பெருக்கல்

X மற்றும் Y சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்குத்தொகையின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் பெருக்குத்தொகையாக அமையும்.

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (XY)&=[E(X)]^{2}\operatorname {Var} (Y)+[E(Y)]^{2}\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)\\&=E(X^{2})E(Y^{2})-[E(X)]^{2}[E(Y)]^{2}.\end{aligned}}$